қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $({{p}_{1}}+1)({{p}_{2}}+1)...({{p}_{k}}+1)$ санның бөлгіші $n={{p}_{1}}{{p}_{2}}...{{p}_{k}}$ болатын барлық натурал сандарды анықтаңыз. Мұндағы ${{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots{{p}_{k}}$ — натурал санның жай көбейткіштерге (әртүрлі болуы міндетті емес) жіктелуі.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын жанайтын сырттай-іш сызылған шеңберлердің центрлерін $I_a$, $I_b$ және $I_c$ деп сәйкесінше белгілейік. $BM$ және $BN$ кесінділері сәйкесінше $I_aBC$ және $I_cBA$ үшбұрыштарының биссектрисалары болсын. Сырттай-іш сызылған шеңбер $AC$ кесіндісін $K$ нүктесінде жанасын. $MN$ кесіндісінің ортасы $B$ және $K$ нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Кез келген оң нақты $x$, $y$ сандары үшін $(x+y)f(f(x)y)={{x}^{2}}f(f(x)+f(y))$ теңдік орындалатынын барлық $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$ функцияларын анықтаңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында іштей сызылған шеңбер $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын $A_1$, $B_1$ және $C_1$ нүктелерінде сәйкесінше жанап өтсін. $AA_1$ және $CC_1$ түзулерінің қиылысу нүктесін $K$ деп белгілейік. $K$ нүктесінен өтетін $AC$ қабырғасына параллель түзу $A_1B_1$ және $C_1B_1$ түзулерін сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде қиып өтсе, $MK = KN$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Кез келген $n$-ге бөлінетін натурал $m$ саны үшін ${{m}^{n}}-1$ өрнегі $p$-ға бөлінетін және $m-1$ саны $p$-ға бөлінбейтін жай $p$ саны табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Екі сиқыршы өздерінің айла-әрекеттерін көрсетеді. Бірінші сиқыршы бөлмеден шығады, содан кейін екінші сиқыршы 1-ден 100-ге дейін номерленген 100 картадан тұратын буманы алады да, үш көрерменнің әрқайсысынан бір-бірлеп алуды сұрайды, бұл ретте ол әр көрермен қандай карта алғанын көреді. Содан кейін ол өзі тағы бір картаны таңдалған үш картаға қосады. Көрермендер бірінші сиқыршыны шақырады да, алдын ала 4 картаны араластырып, оған береді. Бірінші сиқыршы 4 карталарға қарап, әрбір көрерменнің қандай карта таңдағанын «табады». Сиқыршы осы айла-әрекеттерді орындайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)