Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$({{p}_{1}}+1)({{p}_{2}}+1)...({{p}_{k}}+1)$ санның бөлгіші

$n={{p}_{1}}{{p}_{2}}...{{p}_{k}}$ болатын барлық натурал сандарды анықтаңыз. Мұндағы

${{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots{{p}_{k}}$ — натурал санның жай көбейткіштерге (әртүрлі болуы міндетті емес) жіктелуі.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларын жанайтын сырттай-іш сызылған шеңберлердің центрлерін

$I_a$ ,

$I_b$ және

$I_c$ деп сәйкесінше белгілейік.

$BM$ және

$BN$ кесінділері сәйкесінше

$I_aBC$ және

$I_cBA$ үшбұрыштарының биссектрисалары болсын. Сырттай-іш сызылған шеңбер

$AC$ кесіндісін

$K$ нүктесінде жанасын.

$MN$ кесіндісінің ортасы

$B$ және

$K$ нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №3. Кез келген оң нақты

$x$ ,

$y$ сандары үшін

$(x+y)f(f(x)y)={{x}^{2}}f(f(x)+f(y))$ теңдік орындалатынын барлық

$f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$ функцияларын анықтаңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында іштей сызылған шеңбер

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғаларын

$A_1$ ,

$B_1$ және

$C_1$ нүктелерінде сәйкесінше жанап өтсін.

$AA_1$ және

$CC_1$ түзулерінің қиылысу нүктесін

$K$ деп белгілейік.

$K$ нүктесінен өтетін

$AC$ қабырғасына параллель түзу

$A_1B_1$ және

$C_1B_1$ түзулерін сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелерінде қиып өтсе,

$MK = KN$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кез келген

$n$ -ге бөлінетін натурал

$m$ саны үшін

${{m}^{n}}-1$ өрнегі

$p$ -ға бөлінетін және

$m-1$ саны

$p$ -ға бөлінбейтін жай

$p$ саны табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Екі сиқыршы өздерінің айла-әрекеттерін көрсетеді. Бірінші сиқыршы бөлмеден шығады, содан кейін екінші сиқыршы 1-ден 100-ге дейін номерленген 100 картадан тұратын буманы алады да, үш көрерменнің әрқайсысынан бір-бірлеп алуды сұрайды, бұл ретте ол әр көрермен қандай карта алғанын көреді. Содан кейін ол өзі тағы бір картаны таңдалған үш картаға қосады. Көрермендер бірінші сиқыршыны шақырады да, алдын ала 4 картаны араластырып, оған береді. Бірінші сиқыршы 4 карталарға қарап, әрбір көрерменнің қандай карта таңдағанын «табады». Сиқыршы осы айла-әрекеттерді орындайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)