Областная олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс
Дан треугольник ABC, вписанная окружность которого касается сторон BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Пусть прямые AA1 и CC1 пересекаются в точке K. Проведем через точку K прямую параллельную стороне AC, которая пересекает прямые A1B1 и C1B1 в точках M и N соответственно. Докажите, что MK=KN.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Треугольники C1NK и C1B1C подобны , так же как и треугольники A1MK и A1B1A. Из подобия получаем NK=B1C⋅C1KC1C , MK=AB1⋅A1KA1A , преобразуем как NK=1CB1⋅(1+CKC1K) так же MK=1AB1(1+AKA1K) , то есть в итоге надо доказать, то что 1CB1⋅(1+CKC1K)=1AB1(1+AKA1K), используя теорему Ван Обеля , получим 1CB1⋅(1+CB1(1AB1+1A1B))=1AB1⋅(1+AB1(1CB1+1A1B)) , тогда 1CB1+1AB1+1A1B=1AB1+1CB1+1A1B , значит NK=MK .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.