Областная олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$, вписанная окружность которого касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Пусть прямые $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $K$. Проведем через точку $K$ прямую параллельную стороне $AC$, которая пересекает прямые $A_1B_1$ и $C_1B_1$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $MK = KN$.

Комментарий/решение

Треугольники $C_{1}NK$ и $C_{1}B_{1}C$ подобны , так же как и треугольники $A_{1}MK$ и $A_{1}B_{1}A$. Из подобия получаем $NK = \dfrac{B_{1}C \cdot C_{1}K}{C_{1}C}$ , $MK = \dfrac{AB_{1} \cdot A_{1}K}{A_{1}A}$ , преобразуем как $NK = \dfrac{1}{CB_{1}} \cdot (1+\dfrac{CK }{C_{1}K})$ так же $MK = \dfrac{1}{AB_{1}} (1+\dfrac{AK}{A_{1}K})$ , то есть в итоге надо доказать, то что $\dfrac{1}{CB_{1}} \cdot (1+\dfrac{CK }{C_{1}K}) = \dfrac{1}{AB_{1}} (1+\dfrac{AK}{A_{1}K})$, используя теорему Ван Обеля , получим $\dfrac{1}{CB_{1}} \cdot (1 + CB_{1}(\dfrac{1}{AB_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}B}))= \dfrac{1}{AB_{1}} \cdot (1+ AB_{1} (\dfrac{1}{CB_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}B}))$ , тогда $ \dfrac{1}{CB_{1}}+\dfrac{1}{AB_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}B} = \dfrac{1}{AB_{1}} + \dfrac{1}{CB_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}B}$ , значит $NK=MK$ .