Областная олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Определите все натуральные числа

$n = p_1 p_2 \dots p_k$ , которые являются делителем числа

$(p_1 + 1)(p_2 + 1) \dots (p_k + 1)$ , где

$p_1 p_2 \dots p_k$ — разложение числа

$n$ на простые множители (не обязательно различные).
комментарий/решение(3)

Задача №2. Обозначим центры вневписанных окружностей, касающихся сторон

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ треугольника

$ABC$ , через

$I_a$ ,

$I_b$ и

$I_c$ соответственно. Пусть

$BM$ и

$BN$ — биссектрисы треугольников

$I_aBC$ и

$I_cBA$ соответственно. Обозначим через

$K$ точку касания вневписанной окружности со стороной

$AC$ . Докажите, что середина

$MN$ равноудалена от

$B$ и

$K$ .
комментарий/решение

Задача №3. Определите все функции

$f:(0, + \infty ) \to (0, + \infty )$ такие, что для любых положительных действительных чисел

$x$ ,

$y$ выполнено равенство

$(x + y)f(f(x)y) = x^2 f(f(x) + f(y)).$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дан треугольник

$ABC$ , вписанная окружность которого касается сторон

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ в точках

$A_1$ ,

$B_1$ и

$C_1$ соответственно. Пусть прямые

$AA_1$ и

$CC_1$ пересекаются в точке

$K$ . Проведем через точку

$K$ прямую параллельную стороне

$AC$ , которая пересекает прямые

$A_1B_1$ и

$C_1B_1$ в точках

$M$ и

$N$ соответственно. Докажите, что

$MK = KN$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Докажите, что для любого натурального числа

$m$ , имеющего делитель

$n$ , существует простое число

$p$ такое, что

$m^n-1$ делится на

$p$ , а число

$m-1$ не делится на

$p$ .
комментарий/решение(3)

Задача №6. Два фокусника показывают трюк. Первый фокусник выходит из комнаты, а затем второй фокусник берёт колоду из 100 карт, пронумерованных числами от 1 до 100, и просит каждого из трех участников выбрать по очереди по одной карте, и при этом он видит какую карту взял каждый. Затем он сам добавляет еще одну карту к трем выбранным из оставшейся колоды. Участники вызывают первого фокусника, предварительно перемешав 4 карты произвольным образом, и дают ему их. Первый фокусник смотрит на эти 4 карты и «угадывает» какую карту выбирал каждый из участников. Докажите, что фокусники смогут исполнить этот трюк.
комментарий/решение(1)