Областная олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс
Докажите, что для любого натурального числа m, имеющего делитель n, существует простое число p такое, что mn−1 делится на p, а число m−1 не делится на p.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Применим формулу разности n-ых степеней.
mn−1=(m−1)(mn−1+mn−2+…+m+1).
Найдем НОД чисел (m−1) и (mn−1+mn−2+…+m+1).
((m−1),(mn−1+mn−2+…+m+1))=
=((m−1),((mn−1−1)+(mn−2−1)+…+(m−1)+n))=
=((m−1),n)=−1.
Значит, числа (m−1) и (mn−1+mn−2+…+m+1) взаимно простые, тогда простой делитель p числа (mn−1+mn−2+…+m+1) является искомым.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.