Областная олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Ответ :n=3k2⋅2k2,если k-четное; n=3k−12⋅2k+12, если k-нечетное
Решение. Лемма 1. Числа n и n+1 взаимнопросты для n>1, где n∈N.
Доказательство. Понятно,что n+1 не делится нацело на n. Ведь n+1n=1+1n; 1n∈N только если n=1; но по условию n>1. Пусть n и n+1 имеют общий делитель y, тогда n=ay;n+1=by, где a и b - взаимнопросты. Тогда by−ay=y(b−a)=1, то есть y=1. Другими словами, числа n и n+1 не имеют общих множителей.
Пусть A=(p1+1)(p2+1)...(pk+1)
Заметим, что если n состоит из 2m=k простых множителей, то n=3m2m, а если n состоит из 2m+1=k простых множителей, то n=3m2m+1. Если n=3m2m, то A=4m3m. Каждая тройка nперешла в четверкуA, а двойка -в тройку. An=2m∈N. Аналогично для n=3m2m+1. Получается An=3⋅2m−1∈N.
Покажем,что в n, делящее число A нацело, является произведение двоек и троек. По лемме 1 ,p1 и p1+1 взаимнопросты. Чтобы p1 вошло в состав множителей числа A, должно быть простое число p1−1,а такая пара лишь одна p1=3;p1−1=2.
Вот правильное решение:
Ответ:n=2x∗3y,где x,y натуральный числа такие что 2y≥x≥y.
Заметим что n не может иметь простого делителя больше 3. Докажем это противного, пусть имеет. Рассмотрим самый большой простой делитель n - pi. Так как (pk+1)...(p1+1) делится на pi, тогда найдётся j что: рj+1 делится на pi. Но так как он максимум, и больше всех pj+1, кроме pi=pj, то pi+1 делится на $p_{i}, что невозможно.
Значит n=2x∗3y, из чего выходит что (p1+1)...(pk+1)=22y∗3x. Из этого выходит что 2y≥x≥y.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.