Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышында іштей сызылған шеңбер $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын $A_1$, $B_1$ және $C_1$ нүктелерінде сәйкесінше жанап өтсін. $AA_1$ және $CC_1$ түзулерінің қиылысу нүктесін $K$ деп белгілейік. $K$ нүктесінен өтетін $AC$ қабырғасына параллель түзу $A_1B_1$ және $C_1B_1$ түзулерін сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде қиып өтсе, $MK = KN$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Треугольники $C_{1}NK$ и $C_{1}B_{1}C$ подобны , так же как и треугольники $A_{1}MK$ и $A_{1}B_{1}A$. Из подобия получаем $NK = \dfrac{B_{1}C \cdot C_{1}K}{C_{1}C}$ , $MK = \dfrac{AB_{1} \cdot A_{1}K}{A_{1}A}$ , преобразуем как $NK = \dfrac{1}{CB_{1}} \cdot (1+\dfrac{CK }{C_{1}K})$ так же $MK = \dfrac{1}{AB_{1}} (1+\dfrac{AK}{A_{1}K})$ , то есть в итоге надо доказать, то что $\dfrac{1}{CB_{1}} \cdot (1+\dfrac{CK }{C_{1}K}) = \dfrac{1}{AB_{1}} (1+\dfrac{AK}{A_{1}K})$, используя теорему Ван Обеля , получим $\dfrac{1}{CB_{1}} \cdot (1 + CB_{1}(\dfrac{1}{AB_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}B}))= \dfrac{1}{AB_{1}} \cdot (1+ AB_{1} (\dfrac{1}{CB_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}B}))$ , тогда $ \dfrac{1}{CB_{1}}+\dfrac{1}{AB_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}B} = \dfrac{1}{AB_{1}} + \dfrac{1}{CB_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}B}$ , значит $NK=MK$ .