Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Есеп №1. Алты таңбалы санның цифрларының қосындысын сол санның цифрларының көбейтіндісіне көбейткенде, 390 саны шыққан. Осындай алты таңбалы санға ең болмағанда бір мысал келтіріңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Тақтаға $n$ бүтін сандар жазылған. Олардың кез-келген екеуің айырмашылығы кемінде 3-ке тең. Осы сандардың ең үлкен екеуінің квадраттарының қосындысы 500-ден кіші. Осы сандардың ең кіші екеуінің квадраттарының қосындысы да 500-ден кіші. $n$-нің қандай ең үлкен мәнінде осы шарттар орындала алады? ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $A$ бұрышының биссектрисасы $CD$ қабырғасын $K$ нүктесінде қияды. $DK = BC$ және $KC+AB = AD$ екені белгілі. $\angle BCD = \angle ADC$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Жартышеңберде 50 нүкте орналасқан. Кез келген екі нүкте, егер олардың арасында орналасқан басқа нүктелер саны 9-дан аспаса, кесіндімен қосылған. Нүктенің дәрежесі деп сол нүктеден шыққан кесінділер санын айтамыз. Егер кесіндінің екі ұшындағы нүктелердің дәрежелерінің қосындысы тақ болса, сол кесіндіні тақ-кесінді деп атаймыз, ал кері жағдайда оны жұп-кесінді дейміз. Панда мен Аю ойын ойнайды. Ойынды Панда бастайды, әрі қарай кезекпен жүреді. Панда өз жүрісінде қандай-да бір жұп-кесіндіні өшіре алады. Аю өз жүрісінде қандай-да бір тақ-кесіндіні өшіре алады. Келесі жүрісті жасай алмаған аң ұтылады. Дұрыс ойында қай аң ұтады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Тұйықталған сынық сызық 1001 буыннан тұрады және оның ешқандай үш төбесі бір түзудің бойында жатпайды. Егер бір буын өзіне көрші емес қалған 998 буынның әрқайсысымен қиылысса, сол буынды әдемі деп атайық. 1001 буынның 999-ы әдемі екені белгілі. «Қалған екі буынның әрқайсысы да әдемі» деген тұжырым дұрыс па? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1)