Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. ${{({{a}_{n}})}_{n\ge 1}}$ — нақты сандар тізбегі болсын. Барлық $n$ натурал сандары үшін $|{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}|\le 1$ теңсіздігі орындалады, ал ${{({{b}_{n}})}_{n\ge 1}}$ — нақты сандар тізбегі, мұндағы ${{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}}{n}$. Барлық $n$ натурал сандары үшін $|{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}|\le \dfrac{1}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Кез келген $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$, $BC$ және $CA$ қабырғаларын $M$, $N$ және $K$ нүктелерінде жанайды және оның центрі $I$ деп белгілейік. $MN$ және $AC$ түзулерінің қиылысу нүктесін $E$ деп белгілесек, онда $IE$ түзуімен $BK$ түзуі перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Әрбір мүшесін ${{a}^{b}}$ түрінде жазуға болатын тұрақты емес, шексіз арифметикалық прогрессия табыла ма? Мұндағы $a$, $b$ натурал сандар және $b\ge 2$.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының $BC$, $AC$ және $AB$ қабырғаларына $AA_1$, $BB_1$ және $CC_1$ биіктіктері түсірілген. $\dfrac{AD}{A{{A}_{1}}}=\dfrac{BE}{B{{B}_{1}}}=\dfrac{CF}{C{{C}_{1}}}=k$ қатынасы орындалатындай $AA_1$, $BB_1$ және $CC_1$ кесінділерінде $D$, $E$ және $F$ нүктелері алынған. $ABC$ және $DEF$ үшбұрыштары ұқсас болатындай бүкіл мүмкін $k$ санның мәндерін табыңыз.
комментарий/решение

---

Есеп №5. Келесі теңсіздіктер ${{x}^{3}}y+3\le 4z$, ${{y}^{3}}z+3\le 4x$, ${{z}^{3}}x+3\le 4y$ бір мезгілде орындалатындай барлық $x$, $y$, $z$ оң нақты сандарды табыңыз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Мектепте 2009 ұлдар және 2009 қыздар оқиды. Әрбір оқушының баратын үйірмелер саны 100-ден аспайды. Кез-келген ұл әрбір қызбен кем дегенде бір үйірмеге барады. Кем дегенде 11 қыз және кем дегенде 11 ұл қатысатын үйірме барын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---