Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

${{({{a}_{n}})}_{n\ge 1}}$ — нақты сандар тізбегі болсын. Барлық

$n$ натурал сандары үшін

$|{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}|\le 1$ теңсіздігі орындалады, ал

${{({{b}_{n}})}_{n\ge 1}}$ — нақты сандар тізбегі, мұндағы

${{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}}{n}$ . Барлық

$n$ натурал сандары үшін

$|{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}|\le \dfrac{1}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB$ ,

$BC$ және

$CA$ қабырғаларын

$M$ ,

$N$ және

$K$ нүктелерінде жанайды және оның центрі

$I$ деп белгілейік.

$MN$ және

$AC$ түзулерінің қиылысу нүктесін

$E$ деп белгілесек, онда

$IE$ түзуімен

$BK$ түзуі перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Әрбір мүшесін

${{a}^{b}}$ түрінде жазуға болатын тұрақты емес, шексіз арифметикалық прогрессия табыла ма? Мұндағы

$a$ ,

$b$ натурал сандар және

$b\ge 2$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ ,

$AC$ және

$AB$ қабырғаларына

$AA_1$ ,

$BB_1$ және

$CC_1$ биіктіктері түсірілген.

$\dfrac{AD}{A{{A}_{1}}}=\dfrac{BE}{B{{B}_{1}}}=\dfrac{CF}{C{{C}_{1}}}=k$ қатынасы орындалатындай

$AA_1$ ,

$BB_1$ және

$CC_1$ кесінділерінде

$D$ ,

$E$ және

$F$ нүктелері алынған.

$ABC$ және

$DEF$ үшбұрыштары ұқсас болатындай бүкіл мүмкін

$k$ санның мәндерін табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №5. Келесі теңсіздіктер

${{x}^{3}}y+3\le 4z$ ,

${{y}^{3}}z+3\le 4x$ ,

${{z}^{3}}x+3\le 4y$ бір мезгілде орындалатындай барлық

$x$ ,

$y$ ,

$z$ оң нақты сандарды табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Мектепте 2009 ұлдар және 2009 қыздар оқиды. Әрбір оқушының баратын үйірмелер саны 100-ден аспайды. Кез-келген ұл әрбір қызбен кем дегенде бір үйірмеге барады. Кем дегенде 11 қыз және кем дегенде 11 ұл қатысатын үйірме барын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)