Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

Определите все положительные числа $x$, $y$, $z$ для которых одновременно выполняются три неравенства: $x^3y+3\leq 4z$, $y^3z+3\leq 4x$, $z^3x+3\leq 4y$.

Комментарий/решение

по неравенству $AM \geq GM$ так как $x,y,z \geq 0$

$$x^3y+3=x^3y+1+1+1 \geq 4 \sqrt[4]{x^3y} \ (1)$$

$$y^3z+3=y^3z+1+1+1 \geq 4 \sqrt[4]{y^3z} \ (2)$$

$$z^3x+3=z^3x+1+1+1 \geq 4 \sqrt[4]{z^3x} \ (3)$$

Если $x\geq y \geq z$ тогда по $(1)$

$4z \geq x^3y+3 \geq 4 \sqrt[4]{x^3y} \geq 4z$ то есть $4z = x^3y+3$

аналогично для других случаев.

Откуда $x=y=z$ тогда $4x=x^4+3$ то есть $(x-1)^2(x^2+2x+3)=0$ то есть $x=1$

$x=y=z=1$