Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$\{a_n\}_{n\geq 1}$ — последовательность действительных чисел такая, что

$|a_{n+1}-a_n| \leq 1$ для всех натуральных чисел

$n$ , а

$\{b_n\}_{n\geq 1}$ — последовательность действительных чисел такая, что

$b_n = \dfrac{{a_1 + a_2 + \dots + a_n }}{n}$ . Докажите, что

$|b_{n + 1} - b_n | \leq \frac{1}{2}$ для всех натуральных

$n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ вписанная окружность с центром

$I$ касается сторон

$AB$ ,

$BC$ и

$CA$ в точках

$M$ ,

$N$ и

$K$ соответственно. Обозначим через

$E$ – точку пересечения прямых

$MN$ и

$AC$ . Докажите, что прямая

$IE$ перпендикулярна прямой

$BK$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Существует ли непостоянная бесконечная арифметическая прогрессия, каждый член которой можно записать в виде

$a^b$ , где

$a$ ,

$b$ натуральные числа и

$b\geq 2$ ?
комментарий/решение(2)

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ проведены высоты

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ к сторонам

$BC$ ,

$AC$ ,

$AB$ соответственно. На высотах

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ выбраны точки

$D$ ,

$E$ ,

$F$ так, что

$\frac{{AD}}{{AA_1 }} = \frac{{BE}}{{BB_1 }} = \frac{{CF}}{{CC_1 }} = k$ . Определите все значения

$k$ , для которых треугольник

$ABC$ подобен треугольнику

$DEF$ .
комментарий/решение

Задача №5. Определите все положительные числа

$x$ ,

$y$ ,

$z$ для которых одновременно выполняются три неравенства:

$x^3y+3\leq 4z$ ,

$y^3z+3\leq 4x$ ,

$z^3x+3\leq 4y$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В школе учатся 2009 мальчиков и 2009 девочек. Каждый школьник посещает не более 100 кружков. Известно, что любой мальчик посещает с каждой девочкой по крайней мере один общий кружок. Докажите, что существует кружок, который посещают по крайней мере 11 мальчиков и по крайней мере 11 девочек.
комментарий/решение(1)