қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Пусть
$\{a_n\}_{n\geq 1}$ — последовательность действительных чисел такая, что
$|a_{n+1}-a_n| \leq 1$ для всех натуральных чисел $n$, а
$\{b_n\}_{n\geq 1}$ — последовательность действительных чисел такая, что
$b_n = \dfrac{{a_1 + a_2 + \dots + a_n }}{n}$.
Докажите, что $|b_{n + 1} - b_n | \leq \frac{1}{2}$ для всех натуральных $n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В треугольнике $ABC$ вписанная окружность с центром $I$ касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Обозначим через $E$ – точку пересечения прямых $MN$ и $AC$. Докажите, что прямая $IE$ перпендикулярна прямой $BK$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Существует ли непостоянная бесконечная арифметическая прогрессия, каждый член которой можно записать в виде $a^b$, где $a$, $b$ натуральные числа и $b\geq 2$?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ к сторонам $BC$, $AC$, $AB$ соответственно. На высотах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ выбраны точки $D$, $E$, $F$ так, что $\frac{{AD}}{{AA_1 }} = \frac{{BE}}{{BB_1 }} = \frac{{CF}}{{CC_1 }} = k$. Определите все значения $k$, для которых треугольник $ABC$ подобен треугольнику $DEF$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Определите все положительные числа $x$, $y$, $z$ для которых одновременно выполняются три неравенства: $x^3y+3\leq 4z$, $y^3z+3\leq 4x$, $z^3x+3\leq 4y$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В школе учатся 2009 мальчиков и 2009 девочек. Каждый школьник посещает не более 100 кружков. Известно, что любой мальчик посещает с каждой девочкой по крайней мере один общий кружок. Докажите, что существует кружок, который посещают по крайней мере 11 мальчиков и по крайней мере 11 девочек.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)