Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс


Пусть {an}n1 — последовательность действительных чисел такая, что |an+1an|1 для всех натуральных чисел n, а {bn}n1 — последовательность действительных чисел такая, что bn=a1+a2++ann. Докажите, что |bn+1bn|12 для всех натуральных n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
9 года назад #

Максимальная разность двух рядом стоящих членов an и an+1 равна 1 . Поэтому максимальное значение члена b равно a1+a1+1+a1+1+1+...+ann. Если преобразовать это выражение, то получим (a1+an)×n2n ; другими словами an=2a1+d(n1); максимальное d равно 1, поэтому b максимальне равно 2a1+n12, поэтому максимальная разность между двумя рядом стоящими членами b равна 2a1+n+112 минус2a1+n12 равно 12