Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

Пусть $\{a_n\}_{n\geq 1}$ — последовательность действительных чисел такая, что $|a_{n+1}-a_n| \leq 1$ для всех натуральных чисел $n$, а $\{b_n\}_{n\geq 1}$ — последовательность действительных чисел такая, что $b_n = \dfrac{{a_1 + a_2 + \dots + a_n }}{n}$. Докажите, что $|b_{n + 1} - b_n | \leq \frac{1}{2}$ для всех натуральных $n$.

Комментарий/решение

Максимальная разность двух рядом стоящих членов $a_n$ и $a_{n+1}$ равна 1 . Поэтому максимальное значение члена b равно $$\dfrac{a_1+a_1+1+a_1+1+1+...+a_n}{ n}$$. Если преобразовать это выражение, то получим $$\dfrac {(a_1+a_n)×n}{2n}$$ ; другими словами $a_n=2a_1+d(n-1) $; максимальное d равно 1, поэтому b максимальне равно $\dfrac{2a_1+n-1}{2} $, поэтому максимальная разность между двумя рядом стоящими членами b равна $\dfrac{2a_1+n+1-1}{2} $ минус$\dfrac{2a_1+n-1}{2} $ равно $\dfrac{1}{2} $

База $:n=1\Rightarrow |b_2-b_1|=|\dfrac{a_2-a_1}{2}|\le \dfrac{1}{2}$

Переход $:$ $$n\rightarrow n+1\Rightarrow |b_{n+2}-b_{n+1}|=\Bigg|\dfrac{a_1+a_2+...+a_{n+2}}{n+2}-\dfrac{a_1+a_2+...+a_{n+1}}{n+1}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{(n+1)(a_1+a_2+...+a_{n+2})-(n+2)(a_1+a_2+...+a_{n+1})}{(n+1)(n+2)}\Bigg|=$$ $$=\Bigg|\dfrac{(n+1)a_{n+2}-(n+1)a_{n+1}+na_{n+1}-a_1-a_2-...-a_n}{(n+1)(n+2)}\Bigg|\le \Bigg|\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+2}\Bigg|+\Bigg|\dfrac{na_{n+1}-a_1-a_2-...-a_n}{(n+1)(n+2)}\Bigg|\le \dfrac{1}{n+2}+\dfrac{n}{2n+4}=\dfrac{1}{2}$$