Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс
Пусть
{an}n≥1 — последовательность действительных чисел такая, что
|an+1−an|≤1 для всех натуральных чисел n, а
{bn}n≥1 — последовательность действительных чисел такая, что
bn=a1+a2+⋯+ann.
Докажите, что |bn+1−bn|≤12 для всех натуральных n.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Максимальная разность двух рядом стоящих членов an и an+1 равна 1 . Поэтому максимальное значение члена b равно a1+a1+1+a1+1+1+...+ann. Если преобразовать это выражение, то получим (a1+an)×n2n ; другими словами an=2a1+d(n−1); максимальное d равно 1, поэтому b максимальне равно 2a1+n−12, поэтому максимальная разность между двумя рядом стоящими членами b равна 2a1+n+1−12 минус2a1+n−12 равно 12
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.