Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

${{({{a}_{n}})}_{n\ge 1}}$ — нақты сандар тізбегі болсын. Барлық $n$ натурал сандары үшін $|{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}|\le 1$ теңсіздігі орындалады, ал ${{({{b}_{n}})}_{n\ge 1}}$ — нақты сандар тізбегі, мұндағы ${{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}}{n}$. Барлық $n$ натурал сандары үшін $|{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}|\le \dfrac{1}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Максимальная разность двух рядом стоящих членов $a_n$ и $a_{n+1}$ равна 1 . Поэтому максимальное значение члена b равно $$\dfrac{a_1+a_1+1+a_1+1+1+...+a_n}{ n}$$. Если преобразовать это выражение, то получим $$\dfrac {(a_1+a_n)×n}{2n}$$ ; другими словами $a_n=2a_1+d(n-1) $; максимальное d равно 1, поэтому b максимальне равно $\dfrac{2a_1+n-1}{2} $, поэтому максимальная разность между двумя рядом стоящими членами b равна $\dfrac{2a_1+n+1-1}{2} $ минус$\dfrac{2a_1+n-1}{2} $ равно $\dfrac{1}{2} $