Processing math: 43%

Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс


Существует ли непостоянная бесконечная арифметическая прогрессия, каждый член которой можно записать в виде ab, где a, b натуральные числа и b2?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 1 месяца назад #

Ответ: не существует

Решение

Предположим, что такая прогрессия существует. Обозначим n-ый член прогрессии an.Известно, что в арифметической прогрессии an+d=an+1. Рассмотрим предел lim. Теперь вспомним, что все члены этой прогрессии представимы в виде a^b. Пусть a_n=b^x;a_{n+1}=c^{x+m}, где b,c\in {N}, x\to \infty, m \in {Z}. Возьмём тот же предел. \mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}\dfrac{c^{x+m}}{b^x}=\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}[\dfrac{c}{b}]^x*\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}c^m . Если с<b, то произведение пределов обращается в ноль .Если с=b, то произведение пределов обращается в c^m\ne 1. Если с>b, то произведение пределов обращается в бесконечность.

Пределы http://mathprofi.ru/predely_primery_reshenii.html

Учебник 10 класса новый

  1
3 года 9 месяца назад #

Я думаю что решение через лимит не логичное. Оно тебе ничего не даёт.