Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

Существует ли непостоянная бесконечная арифметическая прогрессия, каждый член которой можно записать в виде $a^b$, где $a$, $b$ натуральные числа и $b\geq 2$?

Комментарий/решение

Ответ: не существует

Решение

Предположим, что такая прогрессия существует. Обозначим $n$-ый член прогрессии $a_n$.Известно, что в арифметической прогрессии $a_n+d=a_{n+1}$. Рассмотрим предел $\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}\dfrac{a_n+d}{a_n}=\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}\dfrac{a_n}{a_n}+\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}\dfrac{d}{a_n}=1 $. Теперь вспомним, что все члены этой прогрессии представимы в виде $a^b$. Пусть $a_n=b^x;a_{n+1}=c^{x+m}$, где $b,c\in {N}, x\to \infty, m \in {Z}$. Возьмём тот же предел. $\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}\dfrac{c^{x+m}}{b^x}=\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}[\dfrac{c}{b}]^x*\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}c^m $. Если $с<b$, то произведение пределов обращается в ноль .Если $с=b$, то произведение пределов обращается в $c^m\ne 1$. Если $с>b$, то произведение пределов обращается в бесконечность.

Пределы http://mathprofi.ru/predely_primery_reshenii.html

Учебник 10 класса новый

Я думаю что решение через лимит не логичное. Оно тебе ничего не даёт.