Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

Келесі теңсіздіктер ${{x}^{3}}y+3\le 4z$, ${{y}^{3}}z+3\le 4x$, ${{z}^{3}}x+3\le 4y$ бір мезгілде орындалатындай барлық $x$, $y$, $z$ оң нақты сандарды табыңыз.

Комментарий/решение

по неравенству $AM \geq GM$ так как $x,y,z \geq 0$

$$x^3y+3=x^3y+1+1+1 \geq 4 \sqrt[4]{x^3y} \ (1)$$

$$y^3z+3=y^3z+1+1+1 \geq 4 \sqrt[4]{y^3z} \ (2)$$

$$z^3x+3=z^3x+1+1+1 \geq 4 \sqrt[4]{z^3x} \ (3)$$

Если $x\geq y \geq z $ тогда по $(1)$

$4z \geq x^3y+3 \geq 4 \sqrt[4]{x^3y} \geq 4z$ то есть $4z = x^3y+3 $

аналогично для других случаев.

Откуда $x=y=z$ тогда $4x=x^4+3$ то есть $(x-1)^2(x^2+2x+3)=0$ то есть $x=1$

$x=y=z=1$