қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Тікбұрышты $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $BC$ гипотенузасының ортасы. $AC$ және $AB$ кесінділерінде $AE\cdot BE=AD\cdot CD$ болатындай сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелері табылған. $ME=MD$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №2. $q(q^2-q-1)=r(2r+3)$ теңдігін қанағаттандыратын жай сандардың барлық $(q,r)$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Нақты $a_1,a_2,\ldots,a_{90} \ge -1$ сандары үшін $a_1^3+a_2^3+\ldots+a_{90}^3=0$ теңдігі орындалады. $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{90}^2$ өрнегінің ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Тұрақты натурал $m$ және $n$ сандары берілген. Төбелерінің саны ${m+n}$ болатын, $m$ төбесін қызыл түске, ал қалған $n$ төбесін көк түске боялған көпбұрышты қарастырайық. Көпбұрыштың қабырғаларының екі ұшы да қызыл болса, осы қабырғаға 2 санын жазамыз, ал егер оның екі ұшы да көк болса, оған $1/2$ санын жазамыз. Қалған қабырғаларға 1 санын жазамыз. Жазылған сандардың көбейтіндісін $P$ деп белгілейік. $P$-ның мүмкін мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\{a_i\}$ сандар тізбегі былайша анықталады: $a_1=2020$ және әрбір $n\ge 1$ үшін $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$. Бұл тізбекте рационал санның квадраты кездеспейтінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $\omega$ шеңбері $ABC$ үшбұрышының $A$ және $B$ төбелері арқылы өтіп, оның $BC$ және $AC$ кесінділерін сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $BAD$ бұрышының биссектрисасы $\omega$-ны екінші рет $M$ нүктесінде қиып өтеді. $BD$ және $ME$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $K$ нүктесінен $AM$ түзуіне түсірілген перпендикуляр $AC$ түзуін $N$ нүктесінде қисын. Онда $\angle BNK=\angle DNK$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)