Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Тікбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$BC$ гипотенузасының ортасы.

$AC$ және

$AB$ кесінділерінде

$AE\cdot BE=AD\cdot CD$ болатындай сәйкесінше

$D$ және

$E$ нүктелері табылған.

$ME=MD$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

$q(q^2-q-1)=r(2r+3)$ теңдігін қанағаттандыратын жай сандардың барлық

$(q,r)$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Нақты

$a_1,a_2,\ldots,a_{90} \ge -1$ сандары үшін

$a_1^3+a_2^3+\ldots+a_{90}^3=0$ теңдігі орындалады.

$a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{90}^2$ өрнегінің ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Тұрақты натурал

$m$ және

$n$ сандары берілген. Төбелерінің саны

${m+n}$ болатын,

$m$ төбесін қызыл түске, ал қалған

$n$ төбесін көк түске боялған көпбұрышты қарастырайық. Көпбұрыштың қабырғаларының екі ұшы да қызыл болса, осы қабырғаға 2 санын жазамыз, ал егер оның екі ұшы да көк болса, оған

$1/2$ санын жазамыз. Қалған қабырғаларға 1 санын жазамыз. Жазылған сандардың көбейтіндісін

$P$ деп белгілейік.

$P$ -ның мүмкін мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\{a_i\}$ сандар тізбегі былайша анықталады:

$a_1=2020$ және әрбір

$n\ge 1$ үшін

$a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ . Бұл тізбекте рационал санның квадраты кездеспейтінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$\omega$ шеңбері

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$B$ төбелері арқылы өтіп, оның

$BC$ және

$AC$ кесінділерін сәйкесінше

$D$ және

$E$ нүктелерінде қияды.

$BAD$ бұрышының биссектрисасы

$\omega$ -ны екінші рет

$M$ нүктесінде қиып өтеді.

$BD$ және

$ME$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$K$ нүктесінен

$AM$ түзуіне түсірілген перпендикуляр

$AC$ түзуін

$N$ нүктесінде қисын. Онда

$\angle BNK=\angle DNK$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)