Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс

Даны фиксированные натуральные числа $m$ и $n.$ Рассмотрим многоугольник с $m+n$ вершинами. Покрасим $m$ вершин многоугольника в красный цвет, а остальные $n$ вершин — в синий цвет. Запишем на стороне многоугольника число 2, если оба конца этой стороны покрашены в красный цвет, число $1/2$ — если оба конца отрезка покрашены в синий цвет, и число 1 — в остальных случаях. Пусть $P$ — произведение всех записанных чисел. Найдите возможные значения $P$.

Комментарий/решение

Ответ: $2^{m-n}$

Сначала заметим, что если две соседние вершины многоугольника покрашены в разные цвета, то поменяв цветы у этих вершин получим, что значение $P$ не изменится. Действительно, у нас есть $4$ возможных случая: $RRBR,BRBB.RRBB,BRBR$ (здесь $R$ - означает, что вершина имеет красный цвет, а $B$ - синий цвет).Если поменять цвета местами ($.RB.$ поменяется на $.BR.$), то мы получим: $RBRR,BBRB,RBRB,BBBR.$ Легко заметить, что в каждом из 4 случаев значение $P$ не меняется. Тогда такими заменами двух вершин мы можем получить, что все красные вершины стоят рядом (также как и синие). Следовательно, $P=2^{m-1} * (\frac{1}{2})^{n-1}*1^2=2^{m-n}$

Просто делим точки по группам: рядом стоящие красные как 1 группа и так же с синими. Заметим, что общее число групп четное. Внутри кр. группы где $k$ точек выйдет число $2^{k-1}$, а если группа синих, то $\frac{1}{2^{k-1}}$. Перемножить все красные и выйдет $2^{m-k}$, где $k$ - количество красных групп (и синих тоже очевидно). А синие $\frac{1}{2^{n-k}}$. Тоесть $P$ всегда будет равно $\frac{2^{m-k}}{2^{n-k}}$, который равен $2^{m-n}$