Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы BC. На отрезках AC и AB нашлись соответственно точки D и E такие, что AE⋅BE=AD⋅CD. Докажите, что ME=MD.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №2. Найдите все пары простых чисел (q,r), для которых выполнено равенство q(q2−q−1)=r(2r+3).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Действительные числа a1,a2,…,a90≥−1 такие, что a31+a32+…+a390=0. Найдите наибольшее возможное значение выражения a21+a22+…+a290.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Даны фиксированные натуральные числа m и n. Рассмотрим многоугольник с m+n вершинами. Покрасим m вершин многоугольника в красный цвет, а остальные n вершин — в синий цвет. Запишем на стороне многоугольника число 2, если оба конца этой стороны покрашены в красный цвет, число 1/2 — если оба конца отрезка покрашены в синий цвет, и число 1 — в остальных случаях. Пусть P — произведение всех записанных чисел. Найдите возможные значения P.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Последовательность {ai} определяется следующим образом: a1=2020, an+1=an+2an для всех n≥1. Докажите, что эта последовательность не содержит квадрат рационального числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В треугольнике ABC окружность ω проходит через точки A и B и пересекает отрезки BC и AC соответственно в точках D и E. Биссектриса угла BAD во второй раз пересекает ω в точке M, а прямые BD и ME пересекаются в точке K. Пусть перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую AM, пересекает прямую AC в точке N. Докажите, что ∠BNK=∠DNK.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)