Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина гипотенузы $BC.$ На отрезках $AC$ и $AB$ нашлись соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $AE\cdot BE=AD\cdot CD.$ Докажите, что $ME=MD.$
комментарий/решение(5)

---

Задача №2.  Найдите все пары простых чисел $(q,r)$, для которых выполнено равенство $q(q^2-q-1)=r(2r+3).$
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Действительные числа $a_1,a_2,\ldots,a_{90} \ge -1$ такие, что $a_1^3+a_2^3+\ldots+a_{90}^3=0.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{90}^2.$
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Даны фиксированные натуральные числа $m$ и $n.$ Рассмотрим многоугольник с $m+n$ вершинами. Покрасим $m$ вершин многоугольника в красный цвет, а остальные $n$ вершин — в синий цвет. Запишем на стороне многоугольника число 2, если оба конца этой стороны покрашены в красный цвет, число $1/2$ — если оба конца отрезка покрашены в синий цвет, и число 1 — в остальных случаях. Пусть $P$ — произведение всех записанных чисел. Найдите возможные значения $P$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Последовательность $\{a_i\}$ определяется следующим образом: $a_1=2020,$ $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ для всех $n\ge 1.$ Докажите, что эта последовательность не содержит квадрат рационального числа.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  В треугольнике $ABC$ окружность $\omega$ проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $BC$ и $AC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Биссектриса угла $BAD$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $M$, а прямые $BD$ и $ME$ пересекаются в точке $K$. Пусть перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AM$, пересекает прямую $AC$ в точке $N$. Докажите, что $\angle BNK=\angle DNK$.
комментарий/решение(3)

---