Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Пусть $a_{1}=\frac{2q}{p}$ - несократимая дробь с четным числителем. Тогда $a_{2}=\frac{2q}{p}+\frac{p}{q}=\frac{2q^2+p^2}{pq}$- несократимая дробь вида $\frac{s}{t}$ с нечетным числителем $s$.Заметим что если $a_{n}=\frac{p}{q}$ с нечетным числителем $p,$ то $a_{n+1}=\frac{p}{q}+\frac{2q}{p}=\frac{p^2+2q^2}{pq}$ есть снова несократимая дробь с нечетным числителем при любом $n\ge1.$ Следовательно, если $a_{m+1}$ - квадрат рационального числа, то a_{m} есть также квадрат рационального числа для $m\ge2.$
Отсюда заключаем, что в последовательности {${a_{i}}$} рациональных чисел, удовлетворяющей рекуррентному соотношению $a_{n+1}=a_{n}+\frac{2}{a_{n}},$ встречается квадрат рационального числа тогда и только тогда, когда $a_{1}$ или $a_{2}$ является квадратом рационального числа.
При $a_{1}=2020$ оба члена $a_{1}$ $a_{2}$ не являются квадратами рациональных чисел.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.