Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс

Последовательность $\{a_i\}$ определяется следующим образом: $a_1=2020,$ $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ для всех $n\ge 1.$ Докажите, что эта последовательность не содержит квадрат рационального числа.

Комментарий/решение

Пусть $a_{1}=\frac{2q}{p}$ - несократимая дробь с четным числителем. Тогда $a_{2}=\frac{2q}{p}+\frac{p}{q}=\frac{2q^2+p^2}{pq}$- несократимая дробь вида $\frac{s}{t}$ с нечетным числителем $s$.Заметим что если $a_{n}=\frac{p}{q}$ с нечетным числителем $p,$ то $a_{n+1}=\frac{p}{q}+\frac{2q}{p}=\frac{p^2+2q^2}{pq}$ есть снова несократимая дробь с нечетным числителем при любом $n\ge1.$ Следовательно, если $a_{m+1}$ - квадрат рационального числа, то a_{m} есть также квадрат рационального числа для $m\ge2.$

Отсюда заключаем, что в последовательности {${a_{i}}$} рациональных чисел, удовлетворяющей рекуррентному соотношению $a_{n+1}=a_{n}+\frac{2}{a_{n}},$ встречается квадрат рационального числа тогда и только тогда, когда $a_{1}$ или $a_{2}$ является квадратом рационального числа.

При $a_{1}=2020$ оба члена $a_{1}$ $a_{2}$ не являются квадратами рациональных чисел.