Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 10 сынып
{ai} сандар тізбегі былайша анықталады: a1=2020 және әрбір n≥1 үшін an+1=an+2an. Бұл тізбекте рационал санның квадраты кездеспейтінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть a1=2qp - несократимая дробь с четным числителем. Тогда a2=2qp+pq=2q2+p2pq- несократимая дробь вида st с нечетным числителем s.Заметим что если an=pq с нечетным числителем p, то an+1=pq+2qp=p2+2q2pq есть снова несократимая дробь с нечетным числителем при любом n≥1. Следовательно, если am+1 - квадрат рационального числа, то a_{m} есть также квадрат рационального числа для m≥2.
Отсюда заключаем, что в последовательности {ai} рациональных чисел, удовлетворяющей рекуррентному соотношению an+1=an+2an, встречается квадрат рационального числа тогда и только тогда, когда a1 или a2 является квадратом рационального числа.
При a1=2020 оба члена a1 a2 не являются квадратами рациональных чисел.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.