Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс

Действительные числа $a_1,a_2,\ldots,a_{90} \ge -1$ такие, что $a_1^3+a_2^3+\ldots+a_{90}^3=0.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{90}^2.$

Комментарий/решение

$a\ge -1 \ \ \Rightarrow \ \ (a+1)(a-2)^2\ge 0 \ \ \Rightarrow \ \ a^3+4\ge 3a^2$

$a_1^3+4\ge 3a_1^2$

$a_2^3+4\ge 3a_2^2$

.......................

$a_{90}^3+4\ge 3a_{90}^2$

теңсіздіктерін қосамыз. Сонда

$(a_1^3+a_2^3+...+a_{90}^3)+4\cdot 90\ge 3(a_1^2+a_2^2+...+a_{90}^2)$

$360 \ge 3(a_1^2+a_2^2+...+a_{90}^2)$

$120 \ge a_1^2+a_2^2+...+a_{90}^2$

Теңдік, мысалы, $a_1=a_2=...=a_{10}=2, \ \ a_{11}=a_{12}=...=a_{90}=-1$ жағдайында орындалады.