Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс


Найдите все пары простых чисел (q,r), для которых выполнено равенство q(q2q1)=r(2r+3).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 10 месяца назад #

Ответ:(13;31).

Заметим что если q делится на r(или r делится на q), тогда q=r. Но тогда q2q1=2q+3, но оно не имеет простых делителей.

Теперь будем считать что q не делится на r. Тогда 2r+3 делится на q, 2r+3=qk и q2q1=rk(где k натуральное число). Из чего выходит что 2q22q2=(qk3)k Или 2q2(2+k2)+3k2=0. Теперь рассмотрим это квадратное уравнение через q. И заметим дискриминант должен быть полным квадратом (в ином случае, это уравнение будет иметь только иррациональные решения). D=(k2+2)224k+16. Теперь рассмотрим 6 случая:

k=1,D=1,q=3±14,не имеет простых решений;

k=2,D=4,q=2, но r не простое число;

k=3,D=65;

k=4,D=244

k=5,D=625,q=13,r=31

k>5, выполняется следующее неравенство:

(k2+2)2>D=(k2+2)224k+16>k4 (1)

Левое неравенство очевидно, а левое эквивалентна 4(k5)(k1)>0. По неравенству (1), дискриминант лежит между двумя квадратами разность которых равна 2. Значит D=(k2+2)224k+16=(k2+1)2, это эквивалентна 2k224k+16=0, очевидно что это неравенство не имеет решений.