Областная олимпиада по математике, 2020 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Ответ:(13;31).
Заметим что если q делится на r(или r делится на q), тогда q=r. Но тогда q2−q−1=2q+3, но оно не имеет простых делителей.
Теперь будем считать что q не делится на r. Тогда 2r+3 делится на q, 2r+3=qk и q2−q−1=rk(где k натуральное число). Из чего выходит что 2q2−2q−2=(qk−3)k Или 2q2−(2+k2)+3k−2=0. Теперь рассмотрим это квадратное уравнение через q. И заметим дискриминант должен быть полным квадратом (в ином случае, это уравнение будет иметь только иррациональные решения). D=(k2+2)2−24k+16. Теперь рассмотрим 6 случая:
k=1,D=1,q=3±14,не имеет простых решений;
k=2,D=4,q=2, но r не простое число;
k=3,D=65;
k=4,D=244
k=5,D=625,q=13,r=31
k>5, выполняется следующее неравенство:
(k2+2)2>D=(k2+2)2−24k+16>k4 (1)
Левое неравенство очевидно, а левое эквивалентна 4(k−5)(k−1)>0. По неравенству (1), дискриминант лежит между двумя квадратами разность которых равна 2. Значит D=(k2+2)2−24k+16=(k2+1)2, это эквивалентна 2k2−24k+16=0, очевидно что это неравенство не имеет решений.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.