Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 10 сынып

Тұрақты натурал $m$ және $n$ сандары берілген. Төбелерінің саны ${m+n}$ болатын, $m$ төбесін қызыл түске, ал қалған $n$ төбесін көк түске боялған көпбұрышты қарастырайық. Көпбұрыштың қабырғаларының екі ұшы да қызыл болса, осы қабырғаға 2 санын жазамыз, ал егер оның екі ұшы да көк болса, оған $1/2$ санын жазамыз. Қалған қабырғаларға 1 санын жазамыз. Жазылған сандардың көбейтіндісін $P$ деп белгілейік. $P$-ның мүмкін мәндерін табыңыз.

Комментарий/решение

Ответ: $2^{m-n}$

Сначала заметим, что если две соседние вершины многоугольника покрашены в разные цвета, то поменяв цветы у этих вершин получим, что значение $P$ не изменится. Действительно, у нас есть $4$ возможных случая: $RRBR,BRBB.RRBB,BRBR$ (здесь $R$ - означает, что вершина имеет красный цвет, а $B$ - синий цвет).Если поменять цвета местами ($.RB.$ поменяется на $.BR.$), то мы получим: $RBRR,BBRB,RBRB,BBBR.$ Легко заметить, что в каждом из 4 случаев значение $P$ не меняется. Тогда такими заменами двух вершин мы можем получить, что все красные вершины стоят рядом (также как и синие). Следовательно, $P=2^{m-1} * (\frac{1}{2})^{n-1}*1^2=2^{m-n}$