Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. В каждой из трех школ учатся по

$n$ учеников (

$n\in N$ ). Каждый ученик имеет ровно

$n+1$ знакомых в двух других школах. Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.
комментарий/решение(5)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$

$AB>AC$ . Пусть

$P$ и

$Q$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек

$B$ и

$C$ на биссектрису угла

$\angle BAC$ , соответственно.

$D$ – точка на прямой

$BC$ такая, что

$DA\perp AP$ . Докажите, что прямые

$BQ$ ,

$PC$ и

$AD$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Определите все многочлены

$f(x)$ с целыми положительными коэффициентами такие, что

$f(p)$ является простым для любого простого натурального числа

$p$ .
комментарий/решение

Задача №4. В равнобедренном треугольнике

$ABC$ (

$AB=BC$ )

$D$ — середина

$AC$ ,

$E$ — проекция

$D$ на

$BC$ ,

$F$ — середина

$DE$ . Докажите, что прямые

$BF$ и

$AE$ перпендикулярны.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть

$a, b, c$ — неотрицательные действительные числа, для которых

$\frac{1}{{a^2 + 1}} + \frac{1}{{b^2 + 1}} + \frac{1}{{c^2 + 1}} = 2.$ Докажите неравенство

$ab + bc + ca \leq \frac{3}{2}$ .
комментарий/решение(17)

Задача №6. Докажите, что существует бесконечное число натуральных значений

$n$ , для каждого из которых

$n!$ делится нацело на

$n^2+1$ .
комментарий/решение(2)