қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Үш мектептің әрқайсысында $n$ оқушыдан бар $(n\in \mathbb{N})$. Әрбір оқушы өз мектебінен басқа мектепте оқитын дәл ${n+1}$ оқушымен дос екені белгілі. Әрқайсысы әр мектепте оқитын өзара дос үш оқушы табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $AB > AC$. Пусть $P$ мен $Q$ — сәйкесінше $B$ мен $C$ нүктелерінен $\angle BAC$ бұрышының биссектрисасына түсірілген перпендикулярлардың табандары. $DA\bot AP$ болатындай етіп $BC$ түзуінен $D$ нүктесі алынған. $BQ$, $PC$ және $AD$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Әрбір натурал жай $p$ саны үшін $f(p)$ жай болатындай коэффициенттері оң бүтін $f(x)$ көпмүшеліктерінің бәрін анықта.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышында $(AB=BC)$ $D$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы, $E$ нүктесі — $D$ нүктесінің $BC$ қабырғасына проекциясы, $F$ нүктесі — $DE$ қабырғасының ортасы. $BF$ және $AE$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\dfrac{1}{{{a}^{2}}+1}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}+1}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}+1}=2$ теңдігін қанағаттандыратын кез келген теріс емес $a,b,c$ сандары үшін $ab+bc+ca\le \dfrac{3}{2}$ теңсіздігін дәлелде.
комментарий/решение(15)
комментарий/решение(15)
Есеп №6. $n!$ саны ${{n}^{2}}+1$ санына қалдықсыз бөлінетіндей шексіз көп $n$ натурал сандары табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)