Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Үш мектептің әрқайсысында

$n$ оқушыдан бар

$(n\in \mathbb{N})$ . Әрбір оқушы өз мектебінен басқа мектепте оқитын дәл

${n+1}$ оқушымен дос екені белгілі. Әрқайсысы әр мектепте оқитын өзара дос үш оқушы табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$AB > AC$ . Пусть

$P$ мен

$Q$ — сәйкесінше

$B$ мен

$C$ нүктелерінен

$\angle BAC$ бұрышының биссектрисасына түсірілген перпендикулярлардың табандары.

$DA\bot AP$ болатындай етіп

$BC$ түзуінен

$D$ нүктесі алынған.

$BQ$ ,

$PC$ және

$AD$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Әрбір натурал жай

$p$ саны үшін

$f(p)$ жай болатындай коэффициенттері оң бүтін

$f(x)$ көпмүшеліктерінің бәрін анықта.
комментарий/решение

Есеп №4. Теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышында

$(AB=BC)$

$D$ нүктесі —

$AC$ қабырғасының ортасы,

$E$ нүктесі —

$D$ нүктесінің

$BC$ қабырғасына проекциясы,

$F$ нүктесі —

$DE$ қабырғасының ортасы.

$BF$ және

$AE$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\dfrac{1}{{{a}^{2}}+1}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}+1}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}+1}=2$ теңдігін қанағаттандыратын кез келген теріс емес

$a,b,c$ сандары үшін

$ab+bc+ca\le \dfrac{3}{2}$ теңсіздігін дәлелде.
комментарий/решение(17)

Есеп №6.

$n!$ саны

${{n}^{2}}+1$ санына қалдықсыз бөлінетіндей шексіз көп

$n$ натурал сандары табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)