Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

Определите все многочлены $f(x)$ с целыми положительными коэффициентами такие, что $f(p)$ является простым для любого простого натурального числа $p$.

Комментарий/решение

Пусть $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$. Пусть $q$ простой делитель числа $a_n+...+a_1+a_0$. Тогда по теореме Дирихле, если возьмем $p=qk+1$ простым, то $f(p)$ делится на $q$.Противоречие. Значит, либо такого $q$ нету, либо все значения многочлена одно простое число. Если такого $q$ нету, то сумма коэффициентов равен 1 и наша функция равен $f(x)=x$.

Ответы: $f(x)=x$ или $f(x)=p$, где $p$ простое число.