Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс
Комментарий/решение:
$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}=2$ или выражение можно записать как $\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1} = 1 $ применяя неравенство Коши-Буняковского получаем $1 \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$ $(1)$ если $s=a^2+b^2+c^2$ и $ab+bc+ac=x$ тогда $(1)$ запишется как $\dfrac{s+2x}{s+3} \leq 1 $ откуда $2x \leq 3$ или $x \leq \dfrac{3}{2}$
Допустим нашлась такая тройка чисел что $ab$+$bc$+$ca$$>$$\frac{2}{3}$ Тогда
по КБШ-дробный получаем что $2$$\geq$$\frac{9}{3+a^2+b^2+c^2}$ Так как
$a^2$+$b^2$+$c^2$$\geq$$ab$+$bc$+$ca$$>$$\frac{2}{3}$ То нижняя дробь больше
чем $4,5$ Противоречие
У тебя противоречие эта нижняя дробь и должна быть больше чем $4,5$
Просто если больше чем $4,5$ то у тебя как раз таки и выходит то что надо
По неравенству Коши-Буняковского убеждаемся, что $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$
Следовательно, требуется доказать, что $a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{3}{2}$
Обозначим $x=a^2+1, y=b^2+1, z=c^2+1$
Следовательно, $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}= 2$
От этого приходим к выводу, что нужно доказать неравенство $x+y+z\geq \dfrac{9}{2}$
По неравенствам СГАР-СГ-СА-СК:
$\dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\leq \dfrac{a_1+...+a_n}{n}$
Следовательно, $\dfrac{3}{2}\leq \dfrac{x+y+z}{3}$
От чего можно прийти к выводу, что $x+y+z\geq \dfrac{9}{2}$
$a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{3}{2}$ не значит, что $ab+bc+ac\leq \dfrac{3}{2}$
Из вышеперечисленных фактов мне ничего не мешает сказать, что какое то значение $ab+bc+ac=3$ и $a^2+b^2+c^2=3.1$
применя Коши Шварц мы получим что $\frac{9}{a^2+b^2+c^2+3} \leq 2$ $\rightarrow$
$a^2+b^2+c^2\geq 1.5$ но также мы знаем что $ ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$ ,$\rightarrow$
$ab+bc+ca\leq \frac {3}{2}$ что и требовалось доказать а если не так то то условие задачи не будет соблюдаться т.к. потом уже будет $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca \geq 1.5$$\rightarrow$, $2\leq \frac {9}{a^2+b^2+c^2+3}$
но по Коши Шварц мы доказали что больше ч.т.д.
В предпоследней строке никаким образом не следует(по крайней мере не показано почему это выходит) то что написано через стрелку
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.