Западно-Китайская математическая олимпиада, 2019 год

Задача №1.  Найдите все натуральные $n$ такие, что число $3^n+n^2+2019$ — точный квадрат натурального числа.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Точки $O$ и $H$ — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $ABC$ $(AB\ne AC)$. Точка $M$ — середина $BC$, а $K$ — такая точка пересечения прямой $AM$ и описанной окружности $\triangle BHC$, что $M$ лежит между $A$ и $K$. Прямые $HK$ и $BC$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что если $\angle BAM=\angle CAN,$ то $AN \perp OH$.
комментарий/решение

---

Задача №3.  Пусть $S=\{(i,j)| i,j=1,2, \ldots, 100\}$ — множество точек на координатной плоскости. Каждый элемент из $S$ покрашен в один из четырех цветов. Подмножество $T$ множества $S$ назовем цветным, если $T$ состоит из четырех точек разных цветов, составляющих прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Найдите наибольшее возможное количество цветных подмножеств $S$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  $n$ — целое число такое, что $n \ge 2$. Найдите наименьшее действительное число $\lambda$ такое, что:
   для любых действительных $x_1, x_2, \ldots, x_n \in [0,1]$, существует целые $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n \in \{ 0,1\}$, т.ч. неравенство $\left\vert \sum^j_{k=i} (\varepsilon_k-x_k)\right\vert\le \lambda$ достигается для всех пар целых $(i,j),$ т.ч. $1 \le i \le j \le n.$
комментарий/решение

---

Задача №5.  Точки $O$ и $H$ — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$ $(AB > AC).$ Точки $M$ и $N$ отмечены на $AC$ и $AB$ соответственно так, что $HN \parallel AC$ и $HM \parallel AB.$ Точка $L$ симметрична точке $H$ относительно $MN.$ Прямые $OL$ и $AH$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что точки $K,M,L,N$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Пусть $n\ge 2$ — целое число. Для любых $n$ положительных действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ таких, что $a_1\leq a_2 \leq \ldots \leq a_n ,$ докажите неравенство $$\sum_{1\leq i< j \leq n} (a_i+a_j)^2\left(\frac{1}{i^2}+\frac{1}{j^2}\right)\geq 4(n-1)\sum_{i=1}^{n}\frac{a^2_i}{i^2}.$$
комментарий/решение

---

Задача №7.  Докажите, что для любого целого положительного $k$, существует лишь конечное количество множеств $T,$ таких, что:
   (1) $T$ состоит из конечного количества простых чисел;
   (2) $\prod\limits_{p \in T} p |\prod\limits_{p \in T} {(p + k)} .$
комментарий/решение

---

Задача №8.  Назовем множество $S$ хорошим, если $S=\{x,2x,3x\}$ для некоторого действительного $x.$ Дано целое число $n \ge 3$. Какое максимальное количество хороших подмножеств может иметь $n$-элементное множество целых положительных чисел?
комментарий/решение

---