Западно-Китайская математическая олимпиада, 2019 год

Точки $O$ и $H$ — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$ $(AB > AC).$ Точки $M$ и $N$ отмечены на $AC$ и $AB$ соответственно так, что $HN \parallel AC$ и $HM \parallel AB.$ Точка $L$ симметрична точке $H$ относительно $MN.$ Прямые $OL$ и $AH$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что точки $K,M,L,N$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

$\angle NAM = \angle NHM = \angle NLM \Rightarrow ANML - $вписанный.

$$\angle BHN=\angle CHM = 90; \angle ABH=90-\angle BAC=\angle ACH \Rightarrow \triangle BHN \sim \triangle CHM$$ $$\frac{BN}{NH}=\frac{CM}{MH}, BN*MH=BN*NA=pow(N, (ABC))=CM*NH=CM*MA=pow(M, (ABC)) \Rightarrow OM=ON.$$

Из симметрии получаем $MN||AL; NA=ML.$

$$\angle ONA=\angle ONM+\angle MNA=\angle OMN+\angle NML=\angle OML \Rightarrow \triangle ONA=\triangle OML$$

$\angle NAO = \angle MAK=\angle MLK \Rightarrow K,M,L,N$ лежат на одной окружности.