Западно-Китайская математическая олимпиада, 2019 год

Найдите все натуральные $n$ такие, что число $3^n+n^2+2019$ — точный квадрат натурального числа.

Комментарий/решение

Заметим, что если $n$ - нечетное, то $$3^n+n^2+2019\equiv -1+1+3=3\pmod 4$$ но целый квадрат не может давать остаток $3$ по$\pmod 4$ .

Поэтому $n=2k$, где $k$ - натуральное число.

Заметим, что $$3^{2k}+(2k)^2+2019>(3^k)^2\implies$$ $$3^{2k}+(2k)^2+2019\geq (3^k+1)^2\implies$$ $$(2k)^2+2019\geq 2*3^k+1\implies$$ $$2k^2+1009\geq 3^k$$ По индукции легко доказать, что $3^k>2k^2+1009$, для любого $k\geq 7$.

Поэтому $k\leq 6$, перебором легко понять, что $k=2$, откуда $n=4$.