Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 11 класс

Задача №1. Доказать, что

$(x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5$ делится на

$5(x - y)(y - z)(z - x)$ , где

$x, y, z$ — целые попарно неравные числа.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Найти геометрическое место вершин парабол

$y = x^2 + (2p + 1)x + p^2 - 1$ , где

$p$ — действительное число.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найти действительные корни уравнения

${x^2} + 2ax + \frac{1}{{16}} = - a + \sqrt {{a^2} + x - \frac{1}{{16}}}\,$ ,

$0 < a < \frac{1}{4}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Существует ли многогранник, имеющий 25 ребер?
комментарий/решение(1)