Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 11 класс

Доказать, что $(x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5$ делится на $5(x - y)(y - z)(z - x)$, где $x, y, z$ — целые попарно неравные числа.

Комментарий/решение

Дәлелдеу үшін $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ санының $5$-ке , $(x−y)$-ке , $(y-z)$-ке , $(z-x)$-ке , бөлінетінін көрсеткен жеткілікті.

5-ке: барлық жақшаларды ашып шықсақ қосылғыштардың ішінде 5 дәрежелі сандардан басқасының әрқайсысы 5-ке еселі ($C_{5}^{n}\vdots 5, 1<n<5$) болады, $$x^5-y^5+y^5-z^5+z^5-x^5+5A=5A\vdots 5$$.

$(x−y)$-ке: $(y-z)^5+(z-x)^5$ өрнегін көбейткішке жіктеуге болады, $$(x-y)^5+((y-z)^4 -(y-z)^3 \cdot(z-x)+(y-z)^2 \cdot(z-x)^2-(y-z) \cdot(z-x)^3+(z-x)^4)(\cdots )=$$

$$=(y-x)((y-z)^4 -(y-z)^3 \cdot(z-x)+(y-z)^2 \cdot(z-x)^2-(y-z) \cdot(z-x)^3+(z-x)^4)\vdots (x-y)$$.

$(y-z)$-ке , $(z-x)$-ке бөлінгіштіктерін де дәл осылай көрсетсек болады.

Демек $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5\vdots 5(x−y)(y-z)(z-x)$.