Математикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 11 сынып

Есеп №1. Келесідей анықталған

$\{a_n\}$ тізбегі берілген:

$a_1=3$ және әрбір натурал

$n$ үшін

$a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}.$ Кез келген натурал

$n$ үшін

$\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ биссектрисасы жүргізілген, ал

$A$ төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет

$P$ нүктесінде қиып өтеді.

$A$ және

$P$ арқылы өтетін әлдебір шеңбер

$BP$ мен

$CP$ кесінділерін екінші рет сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелерінде қиып өтеді. Олай болса,

$\angle DEP=\angle DFP$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Жазықтықтың әрбір нүктесі берілген төрт түстің біреуіне боялған. Олай болса,

$AB=1$ немесе

$AB=\sqrt{3}$ болатындай бір түсті

$A$ мен

$B$ нүктелері табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Қабырғасы 1-ге тең квадратты әрқайсысының периметрі

$\frac{5}{2}$ -ке тең және қабырғалары квадраттың қабырғаларына параллель болатын 18 тіктөртбұрышқа бөлшектеуге бола ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$2^k+10n^2+n^4$ саны толық квадрат болатындай барлық

$n$ мен

$k$ натурал сандарының жұптарын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Дөңес

$ABCDE$ бесбұрышында

$\angle ABC=\angle AED=90^\circ,$

$\angle ACB=\angle ADE.$

$P$ және

$Q$ нүктелері — сәйкесінше

$BC$ және

$DE$ қабырғаларының орталары.

$CQ$ мен

$DP$ кесінділері

$X$ нүктесінде қиылысады. Олай болса,

$AX \perp BE$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)