қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Келесідей анықталған $\{a_n\}$ тізбегі берілген: $a_1=3$ және әрбір натурал $n$ үшін $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}.$ Кез келген натурал $n$ үшін
$\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}$
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $AD$ биссектрисасы жүргізілген, ал $A$ төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет $P$ нүктесінде қиып өтеді. $A$ және $P$ арқылы өтетін әлдебір шеңбер $BP$ мен $CP$ кесінділерін екінші рет сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қиып өтеді. Олай болса, $\angle DEP=\angle DFP$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Жазықтықтың әрбір нүктесі берілген төрт түстің біреуіне боялған. Олай болса, $AB=1$ немесе $AB=\sqrt{3}$ болатындай бір түсті $A$ мен $B$ нүктелері табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Қабырғасы 1-ге тең квадратты әрқайсысының периметрі $\frac{5}{2}$-ке тең және қабырғалары квадраттың қабырғаларына параллель болатын 18 тіктөртбұрышқа бөлшектеуге бола ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $2^k+10n^2+n^4$ саны толық квадрат болатындай барлық $n$ мен $k$ натурал сандарының жұптарын табыңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Дөңес $ABCDE$ бесбұрышында $\angle ABC=\angle AED=90^\circ,$ $\angle ACB=\angle ADE.$ $P$ және $Q$ нүктелері — сәйкесінше $BC$ және $DE$ қабырғаларының орталары. $CQ$ мен $DP$ кесінділері $X$ нүктесінде қиылысады. Олай болса, $AX \perp BE$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)