Областная олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Можно ли квадрат со стороной 1 разбить на 18 прямоугольников, стороны которых параллельны сторонам квадрата, так, чтобы периметр каждого прямоугольника разбиения была равна $\frac{5}{2}$?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a \le b$ и периметром 5/2 внутри данного квадрата. Так как $b \le 1$ и $2a+2b=5/2,$ то отсюда следует, что $a \ge 1/4.$ Тогда площадь этого прямоугольника равна $ab$ и $ab \ge 1/4\cdot 1/4=1/16.$ Значит, мы можем разбить данный квадрат не более, чем на 16 прямоугольников с периметром 5/2.