Областная олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Последовательность

$\{a_n\}$ определена следующим образом:

$a_1=3$ и

$a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}$ для всех натуральных

$n.$ Докажите, что для любого натурального

$n$ выполнено неравенство

$\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$AD$ , а биссектриса внешнего угла при вершине

$A$ во второй пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точке

$P.$ Некоторая окружность, проходящая через точки

$A$ и

$P$ , во второй раз пересекает отрезки

$BP$ и

$CP$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Докажите, что

$\angle DEP=\angle DFP.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Каждая точка плоскости окрашена в один из четырех цветов. Докажите, что найдутся две точки

$A$ и

$B$ одного цвета такие, что

$AB=1$ или

$AB=\sqrt{3}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Можно ли квадрат со стороной 1 разбить на 18 прямоугольников, стороны которых параллельны сторонам квадрата, так, чтобы периметр каждого прямоугольника разбиения была равна

$\frac{5}{2}$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все такие пары натуральных чисел

$n$ и

$k$ , что число

$2^k+10n^2+n^4$ является полным квадратом.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Дан выпуклый пятиугольник

$ABCDE$ , в котором

$\angle ABC=\angle AED=90^\circ,$

$\angle ACB=\angle ADE.$ Точки

$P$ и

$Q$ — середины сторон

$BC$ и

$DE$ соответственно. Отрезки

$CQ$ и

$DP$ пересекаются в точке

$X$ . Докажите, что

$AX \perp BE.$
комментарий/решение(1)