Областная олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Найдите все такие пары натуральных чисел $n$ и $k$, что число $2^k+10n^2+n^4$ является полным квадратом.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $(n;k)=(2;3).$
Решение. Обозначим $x^2=2^k+10n^2+n^4.$ Рассмотрим два случая.
   1 случай. $k\le 4.$ В этом случае $x^2=2^k+10n^2+n^4 < (n^2+5)^2,$ то есть $x \le n^2+4.$ Тогда $$x^2=2^k+10n^2+n^4 \le (n^2+4)^2,$$ следовательно $2^k+2n^2 \le 16,$ отсюда $k \le 3$ и $n \le 2.$ Перебрав все эти варианты, получаем, что подходит только пара $(n;k)=(2;3).$
   2 случай. $k \ge 5.$ В этом случае $x^2=2^k+10n^2+n^4>(n^2+5)^2,$ то есть $$x \ge n^2+6. \quad (1)$$ Заметим, что $n$ должно быть четным, в противном случае $$x^2=2^k+10n^2+n^4 \equiv 3 \pmod 4,$$ что невозможно.
   Пусть $m$ $(m \ge 1)$ — наибольшая степень двойки, на которую делится число $n,$ то есть $n =2^m \cdot t$, где $t$ — нечетное число. Если $k > 2m+1,$ то $$x^2=2^k+10n^2+n^4=2^k+10 \cdot 2^{2m} \cdot t^2+2^{4m} \cdot t^4=2^{2m+1}(2^{k-(2m+1)}+5\cdot t^2+2^{2m-1} \cdot t^4).$$ Последняя скобка последнего равенства нечетна, поэтому ${2m+1}$ — наибольшая степень двойки, на которую делится число $x^2$, что невозможно (эта степень должна быть четной).
   А если $k \le 2m+1,$ то $2^k \le 2^{2m+1} \le 2n^2,$ то $x^2=2^k+10n^2+n^4<(n^2+6)^2,$ что противоречит с (1). Значит, при $k \ge 5$ пар $(n;k)$ не существует.