Решения: Республиканская олимпиада, Областной этап

Областная олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$AD$ , а биссектриса внешнего угла при вершине

$A$ во второй пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точке

$P.$ Некоторая окружность, проходящая через точки

$A$ и

$P$ , во второй раз пересекает отрезки

$BP$ и

$CP$ в точках

$E$ и

$F$ соответственно. Докажите, что

$\angle DEP=\angle DFP.$

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Пусть $AB \ge AC$ . Для решения задачи достаточно показать подобие $\triangle DEB \sim \triangle DFC$ (см. рис. ниже).

Известно, что внешняя биссектриса угла

$BAC$ пересекает описанную окружность

$\triangle ABC$ в середине дуги

$BAC$ . Поэтому

$\angle PBC=\angle PCB. \quad (1)$ Понятно, что

$\triangle ABE \sim \triangle ACF$ , так как

$\angle ABE=\angle ACF$ и

$\angle AEP=\angle AFP$ . Тогда из этого подобия и из свойства биссектрисы имеем равенства

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{CA}=\frac{BE}{CF}. \quad (2)$ Равенства (1) и (2) дают

$\triangle DEB \sim \triangle DFC$ . Что и требовалось доказать.