Областная олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс


В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, а биссектриса внешнего угла при вершине $A$ во второй пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $P.$ Некоторая окружность, проходящая через точки $A$ и $P$, во второй раз пересекает отрезки $BP$ и $CP$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $\angle DEP=\angle DFP.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть $AB \ge AC$. Для решения задачи достаточно показать подобие $\triangle DEB \sim \triangle DFC$ (см. рис. ниже).

Известно, что внешняя биссектриса угла $BAC$ пересекает описанную окружность $\triangle ABC$ в середине дуги $BAC$. Поэтому $$\angle PBC=\angle PCB. \quad (1)$$ Понятно, что $\triangle ABE \sim \triangle ACF$, так как $\angle ABE=\angle ACF$ и $\angle AEP=\angle AFP$. Тогда из этого подобия и из свойства биссектрисы имеем равенства $$ \frac{BD}{DC}=\frac{BA}{CA}=\frac{BE}{CF}. \quad (2)$$ Равенства (1) и (2) дают $\triangle DEB \sim \triangle DFC$. Что и требовалось доказать.