Решения: Республиканская олимпиада, Областной этап

Математикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ биссектрисасы жүргізілген, ал

$A$ төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет

$P$ нүктесінде қиып өтеді.

$A$ және

$P$ арқылы өтетін әлдебір шеңбер

$BP$ мен

$CP$ кесінділерін екінші рет сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелерінде қиып өтеді. Олай болса,

$\angle DEP=\angle DFP$ болатынын дәлелдеңдер.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Пусть $AB \ge AC$ . Для решения задачи достаточно показать подобие $\triangle DEB \sim \triangle DFC$ (см. рис. ниже).

Известно, что внешняя биссектриса угла

$BAC$ пересекает описанную окружность

$\triangle ABC$ в середине дуги

$BAC$ . Поэтому

$\angle PBC=\angle PCB. \quad (1)$ Понятно, что

$\triangle ABE \sim \triangle ACF$ , так как

$\angle ABE=\angle ACF$ и

$\angle AEP=\angle AFP$ . Тогда из этого подобия и из свойства биссектрисы имеем равенства

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{CA}=\frac{BE}{CF}. \quad (2)$ Равенства (1) и (2) дают

$\triangle DEB \sim \triangle DFC$ . Что и требовалось доказать.