Математикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 11 сынып


$ABC$ үшбұрышының $AD$ биссектрисасы жүргізілген, ал $A$ төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет $P$ нүктесінде қиып өтеді. $A$ және $P$ арқылы өтетін әлдебір шеңбер $BP$ мен $CP$ кесінділерін екінші рет сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қиып өтеді. Олай болса, $\angle DEP=\angle DFP$ болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть $AB \ge AC$. Для решения задачи достаточно показать подобие $\triangle DEB \sim \triangle DFC$ (см. рис. ниже).

Известно, что внешняя биссектриса угла $BAC$ пересекает описанную окружность $\triangle ABC$ в середине дуги $BAC$. Поэтому $$\angle PBC=\angle PCB. \quad (1)$$ Понятно, что $\triangle ABE \sim \triangle ACF$, так как $\angle ABE=\angle ACF$ и $\angle AEP=\angle AFP$. Тогда из этого подобия и из свойства биссектрисы имеем равенства $$ \frac{BD}{DC}=\frac{BA}{CA}=\frac{BE}{CF}. \quad (2)$$ Равенства (1) и (2) дают $\triangle DEB \sim \triangle DFC$. Что и требовалось доказать.