Математикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 11 сынып

Қабырғасы 1-ге тең квадратты әрқайсысының периметрі $\frac{5}{2}$-ке тең және қабырғалары квадраттың қабырғаларына параллель болатын 18 тіктөртбұрышқа бөлшектеуге бола ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a \le b $ и периметром 5/2 внутри данного квадрата. Так как $b \le 1$ и $2a+2b=5/2,$ то отсюда следует, что $a \ge 1/4.$ Тогда площадь этого прямоугольника равна $ab$ и $ab \ge 1/4\cdot 1/4=1/16.$ Значит, мы можем разбить данный квадрат не более, чем на 16 прямоугольников с периметром 5/2.