Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все такие пары простых чисел

$p$ и

$q$ , что число

$p^{q+1}+q^{p+1}$ является полным квадратом.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Последовательность

$\{a_n\}$ определена следующим образом:

$a_1=3$ и

$a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}$ для всех натуральных

$n.$ Докажите, что для любого натурального

$n$ выполнено неравенство

$\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}.$
комментарий/решение(2)

Задача №3. В треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина

$AB,$ точка

$N$ — середина

$CM$ . На плоскости отмечена точка

$X$ такая, что

$X$ и

$B$ лежат по разные стороны от

$CM$ ,

$\angle XMC=\angle MBC$ и

$\angle XCM=\angle MCB.$ Пусть

$\Omega$ — описанная окружность треугольника

$AMX.$
(a) Докажите, что прямая

$CM$ касается

$\Omega.$
(b) Докажите, что прямые

$NX$ и

$AC$ пересекаются на

$\Omega.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. Две окружности

$\Gamma_1$ и

$\Gamma_2$ с центрами в точках

$O_1$ и

$O_2$ соответственно, пересекаются в точках

$A$ и

$B.$ Прямая

$O_1 A$ пересекает

$\Gamma_2$ во второй раз в точке

$C,$ а прямая

$O_2 A$ пересекает

$\Gamma_1$ во второй раз в точке

$D.$ Прямая

$\ell$ , параллельная

$AD$ , пересекает

$\Gamma_1$ в точках

$B$ и

$E.$ Известно, что

$O_1A \parallel DE.$ Докажите, что

$CD \perp O_2 C$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите число способов заполнения клеток таблицы

$2019\times 2019$ числами из множества

$\{-2,-1,1,2\}$ так, чтобы произведения чисел в каждой строке и в каждом столбце были равны

$-2$ (минус два).
комментарий/решение(1)

Задача №6. Дано натуральное число

$n > 2.$ Пусть

$k$ — наименьшее натуральное число такое, что множество

$\{1,3,5,\ldots ,2n-1\}$ можно разбить на два подмножества

$A$ и

$B$ так, что сумма элементов

$A$ ровно в

$k$ раз больше суммы элементов

$B$ . Докажите, что числа

$n$ и

$k$ взаимно просты.
комментарий/решение(1)