Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

Найдите все такие пары простых чисел $p$ и $q$, что число $p^{q+1}+q^{p+1}$ является полным квадратом.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $(p;q)=(2;2).$
Решение. Обозначим $a^2=p^{q+1}+q^{p+1}.$ Заметим, что пара $(p;q)=(2;2)$ удовлетворяет условию задачи.
   Если оба числа $p$ и $q$ нечетные, тогда $$a^2=p^{q+1}+q^{p+1}\equiv 2 \pmod 4,$$ что невозможно.
   Пусть теперь, без ограничения общности, $p=2$ и $q=2b-1$ — нечетное число $(b \ge 2).$ Тогда $a^2=2^{2b}+q^3$ или $$(a-2^b)(a+2^b)=q^3. \quad (1)$$ Так как число $q$ простое, то из (1) следует, что $a-2^b=q^k$ и $a+2^b=q^l$ для некоторых целых $l > k \ge 0$ и $k+l=3.$ Заметим, что $$q^k |q^l-q^k=(a+2^b )-(a-2^b )=2^{b+1},$$ отсюда $k=0.$ Следовательно $a-2^b=1$ и $a+2^b=q^3,$ отсюда $q^3=(2^b+1)+2^b=2^{b+1}+1.$ Из последнего получаем, что $2^{b+1}=q^3-1=(q-1)(q^2+q+1),$ что невозможно, так как $q^2+q+1 > 1$ нечетное число.

Болгарская респа 2013, а то я думал где я это я мог видеть....

Если разобрать мод 4 тогда понятно что одно из чисел должно быть четным то есть 2. Получаем $2^{q+1}+q^3=a^2$ расмотрим если q нечетный ,тогда $a^2$ должно будет давать по моду 3 0,1 если оно дает 1 а $2^{q+1}$даёт по моду 1 тк q нечетный, значит $q^3 $должно будет делится на 3 отсюда q=3 что не выполняет условия.Значит $a^2$ делится на 3. Расмотрим мод 6 $a^2$ будет давать по моду 6 0,3 . А $2^{q+1} $дает 4. Значит $q^3$ должно давать 5,2 по моду 6 что не возможно, отсюда q тоже четный значит есть единственый ответ где p,q=2,2 что подходит условию