Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Найдите все такие пары простых чисел $p$ и $q$, что число $p^{q+1}+q^{p+1}$ является полным квадратом.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Последовательность $\{a_n\}$ определена следующим образом: $a_1=3$ и $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}$ для всех натуральных $n.$ Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено неравенство $\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}.$
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AB,$ точка $N$ — середина $CM$. На плоскости отмечена точка $X$ такая, что $X$ и $B$ лежат по разные стороны от $CM$, $\angle XMC=\angle MBC$ и $\angle XCM=\angle MCB.$ Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $AMX.$
   (a) Докажите, что прямая $CM$ касается $\Omega.$
   (b) Докажите, что прямые $NX$ и $AC$ пересекаются на $\Omega.$
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Две окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно, пересекаются в точках $A$ и $B.$ Прямая $O_1 A$ пересекает $\Gamma_2$ во второй раз в точке $C,$ а прямая $O_2 A$ пересекает $\Gamma_1$ во второй раз в точке $D.$ Прямая $\ell$, параллельная $AD$, пересекает $\Gamma_1$ в точках $B$ и $E.$ Известно, что $O_1A \parallel DE.$ Докажите, что $CD \perp O_2 C$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Найдите число способов заполнения клеток таблицы $2019\times 2019$ числами из множества $\{-2,-1,1,2\}$ так, чтобы произведения чисел в каждой строке и в каждом столбце были равны $-2$ (минус два).
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Дано натуральное число $n > 2.$ Пусть $k$ — наименьшее натуральное число такое, что множество $\{1,3,5,\ldots ,2n-1\}$ можно разбить на два подмножества $A$ и $B$ так, что сумма элементов $A$ ровно в $k$ раз больше суммы элементов $B$. Докажите, что числа $n$ и $k$ взаимно просты.
комментарий/решение(1)

---