Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс


Две окружности Γ1 и Γ2 с центрами в точках O1 и O2 соответственно, пересекаются в точках A и B. Прямая O1A пересекает Γ2 во второй раз в точке C, а прямая O2A пересекает Γ1 во второй раз в точке D. Прямая , параллельная AD, пересекает Γ1 в точках B и E. Известно, что O1ADE. Докажите, что CDO2C.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Как известно, прямая, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Также известно, что концы двух параллельных хорд окружности являются вершинами равнобокой трапеции. Следовательно, ABO1O2 и ABED — равнобокая трапеция (см. рис. ниже). Так как EDO1A, то из симметрии, относительно серединных перпендикуляров AD и EB, следует параллельность DO1AB, то есть DO1O2=90.


   Равнобедренные треугольники ACO2 и ADO1 подобны, так как у них имеются равные вертикальные углы при основаниях. Поэтому O1DO2=O1CO2, то есть O2CDO1 — вписанный четырехугольник. Осталось заметить, что DCO2=180DO1O2=18090=90.