Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс
Две окружности Γ1 и Γ2 с центрами в точках O1 и O2 соответственно, пересекаются в точках A и B. Прямая O1A пересекает Γ2 во второй раз в точке C, а прямая O2A пересекает Γ1 во второй раз в точке D. Прямая ℓ, параллельная AD, пересекает Γ1 в точках B и E. Известно, что O1A∥DE. Докажите, что CD⊥O2C.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Как известно, прямая, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Также известно, что концы двух параллельных хорд окружности являются вершинами равнобокой трапеции.
Следовательно, AB⊥O1O2 и ABED — равнобокая трапеция (см. рис. ниже). Так как ED∥O1A, то из симметрии, относительно серединных перпендикуляров AD и EB, следует параллельность DO1∥AB, то есть ∠DO1O2=90∘.
Равнобедренные треугольники ACO2 и ADO1 подобны, так как у них имеются равные вертикальные углы при основаниях. Поэтому ∠O1DO2=∠O1CO2, то есть O2CDO1 — вписанный четырехугольник. Осталось заметить, что ∠DCO2=180∘−∠DO1O2=180∘−90∘=90∘.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.