Решения: Республиканская олимпиада, Областной этап

Математикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 10 сынып

Центрлері сәйкесінше

$O_1$ және

$O_2$ нүктелері болатын

$\Gamma_1$ және

$\Gamma_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$O_1A$ түзуі

$\Gamma_2$ шеңберін екінші рет

$C$ нүктесінде, ал

$O_2A$ түзуі

$\Gamma_1$ шеңберін екінші рет

$D$ нүктесінде қиып өтеді.

$AD$ -ға параллель

$\ell$ түзуі

$\Gamma_1$ шеңберін

$B$ және

$E$ нүктелерінде қиып өтеді. Егер

$O_1 A\parallel DE$ екені белгілі болса,

$CD \perp O_2C$ болатынын дәлелдеңдер.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Как известно, прямая, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Также известно, что концы двух параллельных хорд окружности являются вершинами равнобокой трапеции. Следовательно, $AB \perp O_1O_2$ и $ABED$ — равнобокая трапеция (см. рис. ниже). Так как $ED \parallel O_1A$ , то из симметрии, относительно серединных перпендикуляров $AD$ и $EB$ , следует параллельность ${DO_1 \parallel AB}$ , то есть $\angle DO_1O_2 =90^\circ$ .

Равнобедренные треугольники

$ACO_2$ и

$ADO_1$ подобны, так как у них имеются равные вертикальные углы при основаниях. Поэтому

$\angle O_1DO_2=\angle O_1CO_2$ , то есть

$O_2CDO_1$ — вписанный четырехугольник. Осталось заметить, что

$\angle DCO_2=180^\circ-\angle DO_1O_2=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$