Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс


В треугольнике ABC точка M — середина AB, точка N — середина CM. На плоскости отмечена точка X такая, что X и B лежат по разные стороны от CM, XMC=MBC и XCM=MCB. Пусть Ω — описанная окружность треугольника AMX.
   (a) Докажите, что прямая CM касается Ω.
   (b) Докажите, что прямые NX и AC пересекаются на Ω.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. а) Пусть точка E симметрична точке B относительно прямой CM (см. рис. ниже). Тогда MA=MB=ME, то есть AEM — равнобедренный треугольник.

Следовательно, MAE=MEA=(180AME)/2=BME/2=CME. Тогда очевидно, что окружность ω, описанная около треугольника AME, касается прямой CM. Пусть CE пересекает ω во второй раз в точке X1. Независимо от расположения точки E (на отрезке CX1 или на продолжении), имеем равенства CMX1=X1AM=MEC=MBC, что дают совпадения точек X1=X и окружностей ω=Ω. Тем самым пункт a) доказан.
   б) Пусть XD пересекает CM в точке N1. Докажем, что N1 — середина CM. Имеем: N1M2=N1DN1X.(1) Заметим, что AECM, так как AEM=CME. Поэтому ACM=CAE=DAE=DXE, то есть описанная окружность треугольника CDX касается прямой CN1, откуда N1C2=N1DN1X.(2) Из равенств (1) и (2) следует N1M=N1C или N1=N.

пред. Правка 2   1
1 года 3 месяца назад #

(а) Заметим, что из XMC=MBC,XCM=MCB следует, что MBCXMCBCMC=MBMX=AMMX

AMX=AMCXMC=MCBXAMMBC.

(MA,AX)=(CM,MX), что доказывает касание.

(б) Пусть P пересечение Ω с NX, касательная к (XMC) в точке M пересекает (XMP) в A. Доказать, что A,C,P коллинеарные. Это следует из счета углов:

CPN=CXP+PCX=XCM=XMA=XPA. что равносильно требуемому.