Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс


В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AB,$ точка $N$ — середина $CM$. На плоскости отмечена точка $X$ такая, что $X$ и $B$ лежат по разные стороны от $CM$, $\angle XMC=\angle MBC$ и $\angle XCM=\angle MCB.$ Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $AMX.$
   (a) Докажите, что прямая $CM$ касается $\Omega.$
   (b) Докажите, что прямые $NX$ и $AC$ пересекаются на $\Omega.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. а) Пусть точка $E$ симметрична точке $B$ относительно прямой $CM$ (см. рис. ниже). Тогда $MA=MB=ME$, то есть $AEM$ — равнобедренный треугольник.

Следовательно, $$\angle MAE=\angle MEA=(180^\circ-\angle AME)/2=\angle BME/2=\angle CME.$$ Тогда очевидно, что окружность $\omega$, описанная около треугольника $AME$, касается прямой $CM$. Пусть $CE$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $X_1$. Независимо от расположения точки $E$ (на отрезке $CX_1$ или на продолжении), имеем равенства $\angle CMX_1=\angle X_1AM=\angle MEC=\angle MBC$, что дают совпадения точек $X_1=X$ и окружностей $\omega=\Omega.$ Тем самым пункт a) доказан.
   б) Пусть $XD$ пересекает $CM$ в точке $N_1$. Докажем, что $N_1$ — середина $CM$. Имеем: $$N_1M^2=N_1D \cdot N_1X. \quad (1)$$ Заметим, что $AE \parallel CM$, так как $\angle AEM=\angle CME.$ Поэтому $\angle ACM=\angle CAE=\angle DAE=\angle DXE$, то есть описанная окружность треугольника $CDX$ касается прямой $CN_1$, откуда $$N_1C^2=N_1D \cdot N_1X. \quad (2)$$ Из равенств (1) и (2) следует $N_1M=N_1C$ или $N_1=N$.

пред. Правка 2   1
2023-12-11 09:37:02.0 #

(а) Заметим, что из $\angle XMC=\angle MBC, \angle XCM=\angle MCB$ следует, что $\triangle MBC \sim \triangle XMC \Rightarrow \frac{BC}{MC}=\frac{MB}{MX}=\frac{AM}{MX}$

$\angle AMX=\angle AMC-\angle XMC=\angle MCB \Rightarrow \triangle XAM \sim \triangle MBC$.

$\angle (MA,AX)=\angle (CM,MX)$, что доказывает касание.

(б) Пусть $P$ пересечение $\Omega$ с $NX$, касательная к $(XMC)$ в точке $M$ пересекает $(XMP)$ в $A$. Доказать, что $A, C, P$ коллинеарные. Это следует из счета углов:

$$\angle CPN=\angle CXP+\angle PCX=\angle XCM=\angle XMA=\angle XPA.$$ что равносильно требуемому.

ImaRHB