Областная олимпиада по математике, 2019 год, 10 класс
В треугольнике ABC точка M — середина AB, точка N — середина CM. На плоскости отмечена точка X такая, что X и B лежат по разные стороны от CM, ∠XMC=∠MBC и ∠XCM=∠MCB. Пусть Ω — описанная окружность треугольника AMX.
(a) Докажите, что прямая CM касается Ω.
(b) Докажите, что прямые NX и AC пересекаются на Ω.
посмотреть в олимпиаде
(a) Докажите, что прямая CM касается Ω.
(b) Докажите, что прямые NX и AC пересекаются на Ω.
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. а) Пусть точка E симметрична точке B относительно прямой CM (см. рис. ниже). Тогда MA=MB=ME, то есть AEM — равнобедренный треугольник.
б) Пусть XD пересекает CM в точке N1. Докажем, что N1 — середина CM. Имеем: N1M2=N1D⋅N1X.(1) Заметим, что AE∥CM, так как ∠AEM=∠CME. Поэтому ∠ACM=∠CAE=∠DAE=∠DXE, то есть описанная окружность треугольника CDX касается прямой CN1, откуда N1C2=N1D⋅N1X.(2) Из равенств (1) и (2) следует N1M=N1C или N1=N.
(а) Заметим, что из ∠XMC=∠MBC,∠XCM=∠MCB следует, что △MBC∼△XMC⇒BCMC=MBMX=AMMX
∠AMX=∠AMC−∠XMC=∠MCB⇒△XAM∼△MBC.
∠(MA,AX)=∠(CM,MX), что доказывает касание.
(б) Пусть P пересечение Ω с NX, касательная к (XMC) в точке M пересекает (XMP) в A. Доказать, что A,C,P коллинеарные. Это следует из счета углов:
∠CPN=∠CXP+∠PCX=∠XCM=∠XMA=∠XPA. что равносильно требуемому.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.