қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $p^{q+1}+q^{p+1}$ саны толық квадрат болатындай $p$ мен $q$ жай сандардың барлық жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Келесідей анықталған $\{a_n\}$ тізбегі берілген: $a_1=3$ және әрбір натурал $n$ үшін $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}.$ Кез келген натурал $n$ үшін
$\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}$
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасы, ал $N$ нүктесі — $CM$ кесіндісінің ортасы. Жазықтықтан, $B$ нүктесімен $CM$ түзуінің бір жағында жатпайтындай, оған қоса $\angle XMC=\angle MBC$ және $\angle XCM=\angle MCB$ болатындай етіп $X$ нүктесі таңдалған. $AMX$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $\Omega$ болсын.
а) $CM$ түзуі $\Omega \,$-ны жанайтынын дәлелдеңдер.
б) $NX$ пен $AC$ түзулерінің қиылысу нүктесі $\Omega\,$-ның бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
а) $CM$ түзуі $\Omega \,$-ны жанайтынын дәлелдеңдер.
б) $NX$ пен $AC$ түзулерінің қиылысу нүктесі $\Omega\,$-ның бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Центрлері сәйкесінше $O_1$ және $O_2$ нүктелері болатын $\Gamma_1$ және $\Gamma_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $O_1A$ түзуі $\Gamma_2$ шеңберін екінші рет $C$ нүктесінде, ал $O_2A$ түзуі $\Gamma_1$ шеңберін екінші рет $D$ нүктесінде қиып өтеді. $AD$-ға параллель $\ell$ түзуі $\Gamma_1$ шеңберін $B$ және $E$ нүктелерінде қиып өтеді. Егер $O_1 A\parallel DE$ екені белгілі болса, $CD \perp O_2C$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Өлшемі $2019\times 2019$ болатын кестенің әр шаршысына ${\{-2,-1,1,2\}}$ жиынындағы сандардың біреуін ғана жазуға болады. Жоғарыдағы шарт орындалатындай әрбір қатардағы және әрбір бағандағы сандардың көбейтінділері ${-2}$-ге (минус екі) тең болатындай етіп, кестені қанша әдіспен сандармен толтыруға болады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Натурал $n > 2$ саны үшін $k$ арқылы мына шартты қанағаттандыратын ең кіші натурал санды белгілейік: $\{1,3,5,\ldots ,2n-1\}$ жиынын $A$ және $B$ деп белгіленген екі ішкі жиынға, $A$-ның элементтерінің қосындысы $B$-ның элементтерінің қосындысынан дәл $k$ есе көп болатындай етіп, бөлуге болады. Олай болса, $n$ мен $k$ өзара жай болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)