Математикадан облыстық олимпиада, 2019 жыл, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$p^{q+1}+q^{p+1}$ саны толық квадрат болатындай

$p$ мен

$q$ жай сандардың барлық жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Келесідей анықталған

$\{a_n\}$ тізбегі берілген:

$a_1=3$ және әрбір натурал

$n$ үшін

$a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2}.$ Кез келген натурал

$n$ үшін

$\frac{1}{a_1 + 1} + \frac{1}{a_2 + 1} + \ldots + \frac{1}{a_n + 1} < \frac{1}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі

$AB$ кесіндісінің ортасы, ал

$N$ нүктесі —

$CM$ кесіндісінің ортасы. Жазықтықтан,

$B$ нүктесімен

$CM$ түзуінің бір жағында жатпайтындай, оған қоса

$\angle XMC=\angle MBC$ және

$\angle XCM=\angle MCB$ болатындай етіп

$X$ нүктесі таңдалған.

$AMX$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$\Omega$ болсын.
а)

$CM$ түзуі

$\Omega \,$ -ны жанайтынын дәлелдеңдер.
б)

$NX$ пен

$AC$ түзулерінің қиылысу нүктесі

$\Omega\,$ -ның бойында жататынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Центрлері сәйкесінше

$O_1$ және

$O_2$ нүктелері болатын

$\Gamma_1$ және

$\Gamma_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$O_1A$ түзуі

$\Gamma_2$ шеңберін екінші рет

$C$ нүктесінде, ал

$O_2A$ түзуі

$\Gamma_1$ шеңберін екінші рет

$D$ нүктесінде қиып өтеді.

$AD$ -ға параллель

$\ell$ түзуі

$\Gamma_1$ шеңберін

$B$ және

$E$ нүктелерінде қиып өтеді. Егер

$O_1 A\parallel DE$ екені белгілі болса,

$CD \perp O_2C$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Өлшемі

$2019\times 2019$ болатын кестенің әр шаршысына

${\{-2,-1,1,2\}}$ жиынындағы сандардың біреуін ғана жазуға болады. Жоғарыдағы шарт орындалатындай әрбір қатардағы және әрбір бағандағы сандардың көбейтінділері

${-2}$ -ге (минус екі) тең болатындай етіп, кестені қанша әдіспен сандармен толтыруға болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Натурал

$n > 2$ саны үшін

$k$ арқылы мына шартты қанағаттандыратын ең кіші натурал санды белгілейік:

$\{1,3,5,\ldots ,2n-1\}$ жиынын

$A$ және

$B$ деп белгіленген екі ішкі жиынға,

$A$ -ның элементтерінің қосындысы

$B$ -ның элементтерінің қосындысынан дәл

$k$ есе көп болатындай етіп, бөлуге болады. Олай болса,

$n$ мен

$k$ өзара жай болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)