қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Қосындысы 0-ге тең, ал модульдерінің қосындысы $a$-ға тең $n$ санның ең үлкені мен ең кішісінің айырмасы $2a/n$-нен кем емес екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі $H$ нүктесі болсын. Егер $AHB,$ $BHC,$ $CHA$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса, $ABC$ үшбұрышының дұрыс екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Теннис турниріне $n$ кәсіпқой және $2n$ әуесқой ойыншы қатысты. Теннисшілердің әрбір жұбы өзара дәл бір ойын ойнады. Кәсіпқойлардың жеңіс санының әуесқойлардың жеңіс санына қатынасы 7/5 болса, $n$ санын табыңдар (теннисте тең ойын болмайды).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының $AK$ биссектрисасы жүргізілген. $ABK$ үшбұрышына іштей және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері беттесетіні белгілі. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Біз $|a_1 - a_2|,$ $|a_2 - a_3|,$ $\ldots,$ $|a_9 - a_{10}|,$ $|a_{10} - a_{1}|$ сандары түгелдей әртүрлі болатындай етіп, $\{1,2, \ldots ,9,10,11\}$ жиынынан әртүрлі $a_1,a_2,\ldots ,a_{10}$ сандарын таңдай аламыз ба?
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №6. Цифрларының қосындысы $m$-нен кіші және $ \underbrace{111 \ldots 1}_{m \text{ рет}}$ санына бөлінетін оң бүтін сан табыла ма?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)