Математикадан аудандық олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Қосындысы 0-ге тең, ал модульдерінің қосындысы

$a$ -ға тең

$n$ санның ең үлкені мен ең кішісінің айырмасы

$2a/n$ -нен кем емес екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының ортоцентрі

$H$ нүктесі болсын. Егер

$AHB,$

$BHC,$

$CHA$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің радиустары өзара тең болса,

$ABC$ үшбұрышының дұрыс екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теннис турниріне

$n$ кәсіпқой және

$2n$ әуесқой ойыншы қатысты. Теннисшілердің әрбір жұбы өзара дәл бір ойын ойнады. Кәсіпқойлардың жеңіс санының әуесқойлардың жеңіс санына қатынасы 7/5 болса,

$n$ санын табыңдар (теннисте тең ойын болмайды).
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының

$AK$ биссектрисасы жүргізілген.

$ABK$ үшбұрышына іштей және

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері беттесетіні белгілі.

$ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Біз

$|a_1 - a_2|,$

$|a_2 - a_3|,$

$\ldots,$

$|a_9 - a_{10}|,$

$|a_{10} - a_{1}|$ сандары түгелдей әртүрлі болатындай етіп,

$\{1,2, \ldots ,9,10,11\}$ жиынынан әртүрлі

$a_1,a_2,\ldots ,a_{10}$ сандарын таңдай аламыз ба?
комментарий/решение(5)

Есеп №6. Цифрларының қосындысы

$m$ -нен кіші және

$\underbrace{111 \ldots 1}_{m \text{ рет}}$ санына бөлінетін оң бүтін сан табыла ма?
комментарий/решение(2)