Processing math: 83%

Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 10 класс


Можно ли из множества {1,2,,9,10,11} выбрать десять различных чисел a1,a2,,a10 так, чтобы все десять чисел |a1a2|, |a2a3|, , |a9a10|, |a10a1| были различными?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 3 месяца назад #

ответ нет .

решение:

при разности любых чисел из выбранных 10 чисел будет давать всего 18 значении.

эти значения : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9.

Но так как нам дается разности в модуле то всего будет 9 значений .

так же нам дается найти 10 значений разности но всего можно получить всего лишь 9 . значит хотя бы одно значение разности повторится .

  1
6 года назад #

Разность может принять значение: 10=11-1, а не только числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9.

  0
5 года 2 месяца назад #

Можно

11,1,10,2,9,3,8,4,7,5,6

11-1=10

1-10=9

10-2=8

2-9=7

9-3=6

3-8=5

8-4=4

4-7=3

7-5=2

5-6=1

  0
3 года 8 месяца назад #

Число |116|=5 у вас уже встречается ((38|=5).

  4
3 года 8 месяца назад #

Ясно, что любая разность принадлежит множеству {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Заметим, что

\sum_{i=1}^{10} |a_i-a_{i+1}|\equiv \sum_{i=1}^{10} a_i-a_{i+1}\equiv 0 \pmod 2,

но 1+2+\ldots+10=55\not\equiv 0 \pmod 2, откуда следует, что все разности не могут быть различными.