Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 10 класс

Можно ли из множества $\{1,2, \ldots ,9,10,11\}$ выбрать десять различных чисел $a_1,a_2,\ldots ,a_{10}$ так, чтобы все десять чисел $|a_1 - a_2|,$ $|a_2 - a_3|,$ $\ldots,$ $|a_9 - a_{10}|,$ $|a_{10} - a_{1}|$ были различными?

Комментарий/решение

ответ нет .

решение:

при разности любых чисел из выбранных 10 чисел будет давать всего 18 значении.

эти значения : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9.

Но так как нам дается разности в модуле то всего будет 9 значений .

так же нам дается найти 10 значений разности но всего можно получить всего лишь 9 . значит хотя бы одно значение разности повторится .

Разность может принять значение: 10=11-1, а не только числа: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9.

Можно

11,1,10,2,9,3,8,4,7,5,6

11-1=10

1-10=9

10-2=8

2-9=7

9-3=6

3-8=5

8-4=4

4-7=3

7-5=2

5-6=1

Число $|11-6|=5$ у вас уже встречается $((3-8|=5)$.

Ясно, что любая разность принадлежит множеству $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.$ Заметим, что

$$\sum_{i=1}^{10} |a_i-a_{i+1}|\equiv \sum_{i=1}^{10} a_i-a_{i+1}\equiv 0 \pmod 2,$$

но $1+2+\ldots+10=55\not\equiv 0 \pmod 2,$ откуда следует, что все разности не могут быть различными.