қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Сумма $n$ чисел равна 0, сумма их модулей равна $a.$ Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше $2a/n.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Пусть точка $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AHB,$ $BHC,$ $CHA,$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В теннисном турнире участвовали $n$ профессионалов и $2n$ любителей. Каждая пара теннисистов сыграла ровно одну игру между собой. Известно, что отношение числа побед, одержанных профессионалами, к числу побед, одержанных любителями, равно 7/5 (в теннисе ничьих не бывает). Найдите $n.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK.$ Известно, что центры окружностей — вписанной в треугольник $ABK$ и описанной около треугольника $ABC$ — совпадают. Найдите углы треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Можно ли из множества $\{1,2, \ldots ,9,10,11\}$ выбрать десять различных чисел $a_1,a_2,\ldots ,a_{10}$ так, чтобы все десять чисел $|a_1 - a_2|,$ $|a_2 - a_3|,$ $\ldots,$ $|a_9 - a_{10}|,$ $|a_{10} - a_{1}|$ были различными?
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №6. Существует ли целое положительное число, делящееся на $ \underbrace{111 \ldots 1}_{m \text{ раз}}$ и имеющее сумму цифр меньшую, чем $m$?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)