Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сумма

$n$ чисел равна 0, сумма их модулей равна

$a.$ Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше

$2a/n.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть точка

$H$ — ортоцентр остроугольного треугольника

$ABC$ . Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники

$AHB,$

$BHC,$

$CHA,$ равны, то треугольник

$ABC$ — правильный.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В теннисном турнире участвовали

$n$ профессионалов и

$2n$ любителей. Каждая пара теннисистов сыграла ровно одну игру между собой. Известно, что отношение числа побед, одержанных профессионалами, к числу побед, одержанных любителями, равно 7/5 (в теннисе ничьих не бывает). Найдите

$n.$
комментарий/решение(1)

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$AK.$ Известно, что центры окружностей — вписанной в треугольник

$ABK$ и описанной около треугольника

$ABC$ — совпадают. Найдите углы треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Можно ли из множества

$\{1,2, \ldots ,9,10,11\}$ выбрать десять различных чисел

$a_1,a_2,\ldots ,a_{10}$ так, чтобы все десять чисел

$|a_1 - a_2|,$

$|a_2 - a_3|,$

$\ldots,$

$|a_9 - a_{10}|,$

$|a_{10} - a_{1}|$ были различными?
комментарий/решение(5)

Задача №6. Существует ли целое положительное число, делящееся на

$\underbrace{111 \ldots 1}_{m \text{ раз}}$ и имеющее сумму цифр меньшую, чем

$m$ ?
комментарий/решение(2)